[ 掲示板に戻る ]
記事No.60585に関するスレッドです
★ (No Subject) / パンチ
すみません。以前にも同じ問題を投稿させていただいたのですが、まだ自分の中で上手く解決できていません。詳しく解説をしていただけないでしょうか？また、参考文献？となるようなhqがあればURLなどを教え欲しいです。

添付図の解説をお願いします。
答えはエ=1,オ=-,カ=1です。
解説をお願いします。
No.60585 - 2019/08/10(Sat) 23:54:38
☆ Re: / 黄桃
数列で、a[n]=p*a[n-1]+q　で表されるようなものの一般項や極限を求める問題がありますが、それと同じにできます。

det(E-A)≠0 なので、
(E-A)x=e ...(*)
となるベクトルxが存在します。すなわち、
x=Ax+e となっています。
u[n]=Au[n-1]+e から、x=Ax+e を引くと
u[n]-x=A(u[n-1]-x)
となりますから、
u[n]-x=A^n(u[0]-x)
となります。
Aの固有値を計算すると２つとも絶対値が１より小さいので、
(Aの対角化をD=PAP^(-1)とすれば、A^n=P^(-1)D^nP^n で、D^n→0になるから）
A^n→0
になります。
したがって、
u[n]-x→0 (n→∞)
となり、lim u[n]=x です。xは(*)をとけばOKです。

なお、A=(1/√2)R(-π/4) (R(-π/4) は -π/4 の回転行列）
と見えれば、2次の行列の演算は複素数の掛け算に帰着できて、
もとの漸化式は複素数で書けば
v[n]=((1-i)/2) *v[n-1]+1
ですから、数列の場合と同様に計算できます。

あるいは、素朴にやるなら、
u[n]=Au[n-1]+e
=A(A u[n-2]+e)+e
=A^2 u[n-2]+Ae+e
=...
=A^n u[0]+(A^(n-1)+A^(n-2)+...+A+E)e
として、A^n→0 より u[n]→(Σ_[n=0,∞]A^n)e となります(和が収束すれば、ですが）。
Aを対角化してA^nを求め、それから和が計算できるでしょう
（最初の解法はこれを求めるのに、両辺に E-A を掛けた、とみることもできます）。

＃いずれの解法でもA^n→0 になるところが重要です。
No.60590 - 2019/08/11(Sun) 08:13:31
☆ Re: / パンチ
ここまで考えてみました！
ここからどう考えたら良いでしょうか？
No.60679 - 2019/08/15(Thu) 13:58:09
☆ Re: / 黄桃
なぜ、わざわざ一番面倒くさい方法を選ぶのかよくわかりませんが、そこまでわかっているなら、(A')^(4n+1)=(A')^(4n)*A' などと計算できるので、n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるのではないでしょうか。

この先、専門分野で線型代数を使わないのならこの解法でもいいですが、そうでないなら、将来は nxn　行列を扱うことになるので、こうした考え方（成分表示で展開する）しかできないと困ると思います。
No.60729 - 2019/08/17(Sat) 08:38:19
☆ Re: / パンチ
n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるとありますが、どのように考えますか？

あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
No.60789 - 2019/08/20(Tue) 18:53:50
☆ Re: / 黄桃
すみません、返事があると思ってませんでした。失礼しました。

A^(4k)=(-1/4)^k*E なら、
A^(4k+1)=(-1/4)^k*A
A^(4k+2)=(-1/4)^k*A^2
A^(4k+3)=(-1/4)^k*A^3

より、
Σ_[n=1,4k-1] A^n
=Σ_[n=0,k-1] (A^(4k)+A^(4k+1)+A^(4k+2)+A^(4k+3))
=Σ_[n=0,k-1] ((-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2+(-1/4)^k*A^3)
=(Σ_[n=0,k-1] (-1/4)^k)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)/(1+1/4)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)

同様に、
Σ_[n=1,4k] A^n=Σ_[n=1,4k-1] A^n+A^(4k)=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E
Σ_[n=1,4k+1]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A
Σ_[n=1,4k+2]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2
となるので、nが 4k,4k+1,4k+2, 4k+3(=4(k+1)-1) のいずれであっても、n→∞とすれば、残るのは、
(4/5)(E+A+A^2+A^3)
の部分です。


>あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
今の高校では行列はやらないのでは？
その代わりに複素数平面をやっているので、高校数学の範囲にするのなら、
このような2x2行列を掛けることと複素数平面で複素数(1/2)-(1/2)i をかけることは同じ、
ベクトル(1,0)を足すことは複素数平面では1を足すことに対応する、
ことから、
a[n]=(1-i)/2*a[n-1]+1
という漸化式で定まる複素数平面上の点a[n]とベクトルv[n]が対応します（a[n]=x+iy に対して、v[n]=(x,y))。
なので、これで計算するのが高校数学らしいのではないでしょうか。
No.60899 - 2019/08/24(Sat) 12:01:37