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記事No.60592に関するスレッドです
★ 線形代数　べき零行列 / papurika
（１）の A+Bの証明のところで m=r+s-1となぜおけるのかわかりません。
右に書いてある不等式の意味も分かりません。
解説もしくは参考になるサイトなどありましたらよろしくお願いします。
No.60592 - 2019/08/11(Sun) 11:25:40
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
mはr以上、ｓ以上でしょう（ｒ、ｓともに1以上なので）
よってA^mの項は0になります。

積の可換の証明よりr<=sと一時的に仮定します。

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60593 - 2019/08/11(Sun) 12:02:03
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60594 - 2019/08/11(Sun) 12:03:29
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します。いろいろおかしいので訂正しました

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）

0＜=ｋ＜ｓの時
m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 より
r+s+1 >= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=でないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60595 - 2019/08/11(Sun) 12:09:22
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
ｍが　r+s-1となぜおけるかというと
べきゼロであると言うことはある回数以上かければそこでゼロになるという状態なので。以上であるので別に
(A+B)^m=0となるのはm=r+s-1だとうまく証明できるだけで
50回掛ければ０になりそうだと思えばｍ=50でやってみるでしょう。
そう思った流れは、少なくともｒ回以上且つｓ階以上掛けないとABは0にならないのでr+sにしたんじゃないかな,,,
私にはこういった発想力はないので良く引っかかってしまいますが
No.60596 - 2019/08/11(Sun) 12:17:43