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記事No.60637に関するスレッドです
★ 最小値 / 美雪
xy平面上、x座標、y座標がともに整数となる点(m,n)を格子点と呼ぶ。各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

傾き2/5の直線をL：2x-5y-k=0とします。問題文から、kは任意の実数です。

Lが(m,n)を中心とする半径rの円と共有点をもつという条件から、

│2m-5n-k│/√29≦r

が成り立ちます。2m-5nはN=2・3N-5Nが成り立つことから、整数全体を表します。そこで、2m-5n=N(Nは全ての整数)とおきます。

任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求めるのですから、任意の実数kに対して、│N-k│の最大値を求めるということなのだと思いますが、ここから先が全然わからないです。kが任意なら絶対値はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しないように思います。途中がおかしいのかもしれません。

わかりやすく教えてください。
No.60632 - 2019/08/13(Tue) 11:30:11
☆ Re: 最小値 / らすかる
Nは任意の整数がとれるわけですから
|N-k|/√29≦rの左辺のNはkに最も近い整数をとって
この不等式を満たせばよいということです。
Nをkに最も近い整数とすれば|N-k|≦1/2なので、
(√29)r=1/2すなわちr=1/(2√29)であれば条件を満たしますね。
No.60636 - 2019/08/13(Tue) 13:04:42
☆ Re: 最小値 / らすかる
ちなみに、各格子点に半径1/(2√29)の円を描いて
円に接する傾き2/5の直線を描くと、この図のようになります。
これを見ると、r＜1/(2√29)のときに共有点を持たない直線が引ける
ことが実感できますね。
No.60637 - 2019/08/13(Tue) 19:49:18
☆ Re: 最小値 / 黄桃
答に関してはらすかるさんの書かれている通りですので、「ここから先」の説明をします。

>任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求める
が不正確です。らすかるさんがかいているように、
kに応じて（kは直線に対応するから、直線を決めるごとに)Nを変えてよい(その直線に一番近い点は変えてよい）、
ということが書かれていません。

正確には次のようになります：
0以上の実数rに関する条件「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」
をみたす最小のrを求める。

この条件を分析します。「すべてのk」が難しくしている元なので、まず、kを定数として考えてみます（直線を1本決めてみる、ということ）。
すると、「整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ような0以上の実数rに関する条件を考えることになります。
これは要するに、直線2x-5y-k=0と、それに一番近い格子点までの距離をR(k)とすれば、r≧R(k)ということです。

例えば、k=0の時は、N=0とすれば、│N-k│/√29=0 とできる(2x-5y=0は格子点を通る）ので、rは0以上ならなんでもよい、ことになりますから、R(0)=0です。
r=1/3 であれば、1/3に一番近い整数は0なので、│N-k│/√29は一番小さくて 1/(3√29)。
よって、rがこれ以上ならOK、つまり、R(1/3)=1/(3√29)です。

すると、k=0,k=1/3 の時どちらの場合でも交わる条件は、r≧R(0) と r≧R(1/3)　の共通部分(この場合は、r≧1/(3√29)) です。

以上をふまえれば、
「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ようなrの条件は、
「すべての実数kに対して、r≧R(k)」となるようなrの条件であり、
これは結局 r≧[R(k)の最大値]、です。
これを満たす最小のrはもちろん、[R(k)の最大値]であり、これは (N,kを動かしたときの)│N-k│/√29 の最大値ではありません。

＃R(k)の|N-k| の部分を最小にするNは、Nが kに一番近い整数の時なので、
＃kの小数部分だけが問題で、整数と一番遠くなるのは、小数部分が 0.5の時です。
＃つまり、R(k)の最大値はR(1/2)(=R(1.5)=R(2.5)=...)と等しい、ということです。
No.60642 - 2019/08/14(Wed) 09:08:45
☆ Re: 最小値 / 美雪
らすかる様　黄桃様

失礼します。

kに応じてNを適当に取ったとき、│N-k│が取りうる最大値。

k=0.2ならN=0をとれば、│N-k│は0.2

k=1.4ならN=1をとれば、│N-k│は0.4

k=2.6ならN=3をとれば、│N-k│は0.4

k=3.8ならN=4をとれば、│N-k│は0.2

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このようにkに応じて近い整数をとったのが│N-k│であり、すると、

k=M+0.5(Mは整数)のとき、│N-k│はN=M、M+1のとき0.5で、kがこれ以外のときはkに近い方の整数が存在し、│N-k│は0.5より小さくなるので、│N-k│は最大値が0.5になる、ということでしょうか？
No.60650 - 2019/08/14(Wed) 18:50:06
☆ Re: 最小値 / らすかる
その通りです。
No.60654 - 2019/08/14(Wed) 20:08:40
☆ Re: 最小値 / 美雪
ありがとうございました！今回もとてもわかりやすかったです！
No.60666 - 2019/08/14(Wed) 23:44:00