以前質問したとき(8月4日)
誤植があると仰っていましたが、なぜ誤植とわかるのでしょうか？
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No.60647 - 2019/08/14(Wed) 17:05:33
| ☆ Re: ベクトル面積分 / X | | | 外積と解釈した場合は以下の通りです。
(↑i,↑j,↑kの代わりに成分表示で
計算しています。)
条件から
x=4cosθ
y=4sinθ
(0≦θ≦π/2)
と置くことができ
↑f=(z+(4sinθ)^2,2(4cosθ-2)・4sinθ,(4cosθ)^2)
=16(z/16+(sinθ)^2,(2cosθ-1)sinθ,(cosθ)^2)
↑n=(cosθ,sinθ,0)
∴↑f×↑n=16(-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{z/16+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)
一方
dS=4dθdz
以上から
∬[F](↑f×↑n)dS=64∫[θ:0→π/2]∫[z:0→3](-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{z/16+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)dzdθ
=192∫[θ:0→π/2](-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{3/32+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)dθ
=192∫[θ:0→π/2](-sinθ(1+cos2θ)/2,(cosθ)(1+cos2θ)/2,{3/32+(1-cos2θ)/2}sinθ-(1/2)(2cosθ-1)sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(sinθ+sinθcos2θ),cosθ+cosθcos2θ,(3/16)sinθ+sinθ-sinθcos2θ-2sin2θcosθ+sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(sinθ+(1/2)(sin3θ-sinθ)),cosθ+(1/2)(cos3θ+cosθ),(19/16)sinθ+(1/2)(sin3θ-sinθ)-sin3θ-sinθ+sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(1/2)(sin3θ+sinθ),(1/2)(cos3θ+3cosθ),-(5/16)sinθ-(1/2)sin3θ+sin2θ)dθ
=48[((1/3)cos3θ+cosθ,(1/3)sin3θ+3sinθ,(5/8)cosθ+(1/3)cos3θ-cos2θ)][θ:0→π/2]
=48(-4/3,8/3,-5/8-1/3+1)
=16(-4,8,-15/8-1+3)
=16(-4,8,1/8)
=(-64,128,2)
(ざっと計算しただけなので、どこかに間違いがあるかもしれません。)
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No.60719 - 2019/08/16(Fri) 21:57:19 |
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