3)なのですが、円周にそう方向(反時計回りなのか、時計回りなのか)が指定されてないときはどうふればいいのでしょうか？
僕は反時計回りに計算したら3π/2+1になったのでふがあっていますか？
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No.60652 - 2019/08/14(Wed) 19:53:00
| ☆ Re: 線積分 / GandB | | | 別に間違ってないようだけど。(1)と(2)はわざわざパラメータ t を立てるまでもない。
A↑ = (-y, x, 0)
rotA↑ = (0, 0, 2) ≠0↑
なのでA↑はスカラーポテンシャルを持たない。
(1)
曲線 C を
r↑(x) = (x, y) = (x, x)
とすると
dr↑= (1,1)dx.
A↑ = (-y, x) = (-x, x).
∫_C A↑・dr↑ = ∫[0→1] (-x,x)・(1,1)dx = ∫[0→1] (-x+x)dx = 0.
(2)
曲線 C を
r↑(x) = (x, y) = (x, x^2)
とすると
dr↑= (1,2x)dx.
A↑ = (-y, x) = (-x^2, x).
∫_C A↑・dr↑ = ∫[0→1] (-x^2, x)・(1,2x)dx
= ∫[0→1] (-x^2 + 2x^2)dx
= 1/3.
(3)
積分経路は (0,0) から (1,1) と指定されているから右回り。
曲線 C を
r↑ = ( x(t), y(t) ) = ( cos(t)+1, sin(t) )
とすると
dr↑= ( -sin(t)dt, cos(t)dt ).
A↑ = (-y, x) = ( -sin(t), cos(t)+1 ).
∫_C A↑・dr↑
= ∫[π→π/2] ( -sin(t), cos(t)+1 )・( -sin(t)dt, cos(t)dt )
= ∫[π→π/2] sin^2(t) + cos^2(t) + cos(t) dt
= ∫[π→π/2] 1 + cos(t) dt
= (π/2 - π) + ( sin(π/2) - sin(π) )
= 1 - π/2.
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No.60701 - 2019/08/16(Fri) 00:38:15 |
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