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記事No.60767に関するスレッドです
★ 三角関数 / あさ
画像の問題の(4)の解き方を教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.60767 - 2019/08/20(Tue) 02:06:13
☆ Re: 三角関数 / らすかる
2sin2θ-2sinθ-a(2cosθ-1)=0
4sinθcosθ-2sinθ-a(2cosθ-1)=0
(2sinθ-a)(2cosθ-1)=0
∴sinθ=a/2, cosθ=1/2
θ≧0におけるcosθ=1/2の解はθ=π/3,5π/3,7π/3,11π/3,13π/3,…なので
0≦θ≦aπにおけるcosθ=1/2の解は
1≦a＜5/3のとき 1個
5/3≦a＜7/3のとき 2個
7/3≦a＜11/3のとき 3個
11/3≦a＜13/3のとき 4個
13/3≦aのとき 5個以上
0≦θ≦aπにおけるsinθ=a/2の解は
1≦a＜2のとき 2個（0＜θ＜π/2の範囲とπ/2＜θ＜πの範囲に1個ずつ）
a=2のとき 1個（θ=π/2）
a＞2のとき 0個
従って解の個数が合計4個になるaの範囲は
5/3≦a＜2、11/3≦a＜13/3
後者はcosθ=1/2の解しかないので解はすべて異なる。
前者はsinθ=a/2とcosθ=1/2の解がそれぞれ2個なので
「異なる4つの解」になっているかどうか吟味が必要。
5/3≦a＜2のときcosθ=1/2の解はθ=π/3,5π/3
θ=5π/3のときsinθ＜0なのでθ=5π/3はsinθ=a/2の解にならない。
θ=π/3のときsinθ=√3/2なので、a=√3のときに
sinθ=a/2とcosθ=1/2の解が重複して3個になる。
従って異なる4つの解をもつaの範囲は、
5/3≦a＜√3、√3＜a＜2、11/3≦a＜13/3
No.60768 - 2019/08/20(Tue) 04:18:03
☆ Re: 三角関数 / あさ
丁寧な解説で理解できました。
ありがとうございました。
No.60773 - 2019/08/20(Tue) 08:30:51