xy座標平面において、原点Oから出発し、コインを投げ、表が出たらx軸正の方向に1移動し、裏が出たらy軸正の方向に1進むこととする。ただし表が出る確率をpとする。2m回の試行の後、(m,m)に至った時、(m,m)に至るまでに直線y=x上の点を通らなかった確率を求めよ。
y=xを通らないという条件をどのように扱えばいいのかさっぱりわかりません。よろしくお願いします。
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No.60864 - 2019/08/23(Fri) 12:41:34
| ☆ Re: 条件付き確率 / らすかる | | | (1,0)から(m,m-1)までy=xに触れずに進む経路数は、
(1,0)から(m,m-1)まで進む全経路数(2m-2)C(m-1)から
y=xに触れて(m,m-1)まで進む経路数を引けば求まります。
y=xに触れて(m,m-1)まで進む経路数は、
y=xに最初に触れた後の経路をy=xに関して反転すれば
(m-1,m)に到着することになりますので、
(2m-2)C(m-2)となります。
よって(1,0)から(m,m-1)までy=xに触れずに進む経路数は
(2m-2)C(m-1)-(2m-2)C(m-2)=(1/m)(2m-2)C(m-1)となりますので、
途中でy=xに触れずに進む全経路数は
(0,1)から(m-1,m)までy=xに触れずに進む経路数と合わせて
(2/m)(2m-2)C(m-1)通りということになります。
(0,0)から(m,m)まで進む全経路数は(2m)C(m)通りですから、
求める確率は
{(2/m)(2m-2)C(m-1)}/{(2m)C(m)}=1/(2m-1)
となります。
（m=1の場合も正しく確率1になっています。）
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No.60869 - 2019/08/23(Fri) 14:16:45 |
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