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記事No.60901に関するスレッドです
★ 質問お願いします。 / しょう
87番の解法の考え方がまったく分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願いします。
No.60901 - 2019/08/24(Sat) 18:20:07
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
1〜40のうち奇数は素因数2を含まないので除外して、
偶数について素因数2の個数を○で表すと
※桁をそろえるために2,4,6,8の前に0を付けます
02 ○
04 ○○
06 ○
08 ○○○
10 ○
12 ○○
14 ○
16 ○○○○
18 ○
20 ○○
22 ○
24 ○○○
26 ○
28 ○○
30 ○
32 ○○○○○
34 ○
36 ○○
38 ○
40 ○○○
のようになりますね。
これを上から順番に足すのは大変なので
縦に、左から順番に足します。
一番左の列は偶数ならば○が付きます。
よって一番左の列の○の個数は40÷2=20個です。
2番目の列は4の倍数のときに○が付きます。
よって2番目の列の○の個数は40÷4=10個です。
3番目の列は8の倍数のときに○が付きます。
よって3番目の列の○の個数は40÷8=5個です。
4番目の列は16の倍数のときに○が付きます。
よって4番目の列の○の個数は40÷16=2個（余りは無視）です。
5番目の列は32の倍数のときに○が付きます。
よって5番目の列の○の個数は40÷32=1個（余りは無視）です。
従って素因数2の個数は
[40÷2]+[40÷4]+[40÷8]+[40÷16]+[40÷32]=20+10+5+2+1=38個
となります。

同様に、素因数3の個数は
[40÷3]+[40÷9]+[40÷27]=13+4+1=18個
素因数5の個数は
[40÷5]+[40÷25]=8+1=9個
のように計算できます。
末尾につく0の個数は、何回10で割り切れるか、すなわち
素因数2と素因数5の個数のうち少ない方が答えになりますが、
階乗では常に素因数5の個数の方が少ないので、
(素因数5の個数)=(末尾の0の個数)
となります。
従って0の個数は9個です。
No.60902 - 2019/08/24(Sat) 18:53:09
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
なるほど！すごくよく分かりました！

ちなみに最後の所の、末尾につく0の個数は、何回10で割り切れるか、すなわち
素因数2と素因数5の個数のうち少ない方が答えになりますが、
階乗では常に素因数5の個数の方が少ないので、
(素因数5の個数)=(末尾の0の個数)
となります。
従って0の個数は9個です

の所だけよく分からないのでもう少し教えて欲しいです！
No.60930 - 2019/08/25(Sun) 11:12:32
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
「末尾につく0の個数は、何回10で割り切れるか」はわかりますよね？
10=2×5なので素因数2の個数と素因数5の個数がわかれば
何回10で割り切れるかわかります。
40!の場合は素因数2が38個、素因数5が9個なので
40!÷10=40!÷2÷5は素因数2が37個、素因数5が8個
40!÷10^2=40!÷2^2÷5^2は素因数2が36個、素因数5が7個
40!÷10^3=40!÷2^3÷5^3は素因数2が35個、素因数5が6個
・・・
40!÷10^9=40!÷2^9÷5^9は素因数2が29個、素因数5が0個
ここで素因数5がなくなりますので、
40!÷10^9は5で割り切れず、従って10でも割り切れません。
よって40!は10で9回割れますので、末尾の0は9個です。

またこの例で素因数2の個数が38個、素因数5の個数が9個であったように
何かの階乗は常に素因数2の個数の方が多くなります（ただし0!と1!を除く）。
従って10で割っていくと先に素因数5がなくなりますので、
結局のところ素因数2の個数は考える必要がなく、
(素因数5の個数)=(末尾の0の個数)
ということになります。
No.60931 - 2019/08/25(Sun) 11:52:15