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記事No.61197に関するスレッドです
★
確率漸化式
/ さわ
引用
解き方を教えてください
No.61197 - 2019/09/07(Sat) 21:19:07
☆
Re: 確率漸化式
/ ヨッシー
引用
ｎ回目の試行で、
Ａが１点になっている確率を ｒ[n]
２点になっている確率を ｑ[n]
３点になっている確率を ｐ[n]
とします。偶数と奇数は同確率なので、Ｂが、１点、２点、３点に
なっている確率も、ｒ[n]、ｑ[n]、ｐ[n] です。
ｒ[n+1]＝(r[n]＋q[n])/２ ・・・(1)
ｑ[n+1]＝r[n]/２ ・・・(2)
ｐ[n+1]＝q[n]/２ ・・・(3)
ｒ[1]＝1/2、ｑ[1]＝０、ｐ[1]＝０
順に
r[2]＝1/4、q[2]＝1/4、p[2]＝０
r[3]＝1/4、q[3]＝1/8、p[3]＝1/8
r[4]＝3/16、q[4]＝1/8、p[4]＝1/16
r[5]＝5/32、q[5]＝3/32、p[5]＝1/16
r[6]＝1/8、q[6]＝5/64、p[6]＝3/64
r[7]＝13/128、q[7]＝1/16、p[7]＝5/128
よって、p[5]＝1/16, p[6]＝3/64, p[7]＝5/128
(2)(3) より
q[n]＝2・p[n+1]
r[n]＝4・p[n+2]
(1) に代入して
4・p[n+3]＝(4・p[n+2]＋2・p[n+1])/２
整理して
4・p[n+3]＝2・p[n+2]＋p[n+1]
よって、
p[n+2]＝(1/2)p[n+1]＋(1/4)p[n] ・・・(4)
これが
p[n+2]−ｓp[n+1]＝ｔ(p[n+1]−ｓp[n])
と書けたとして展開すると
p[n+2]＝(ｓ＋ｔ)p[n+1]−ｓｔp[n]
(4) と係数を比較すると
ｓ＋ｔ＝1/2、ｓｔ＝−1/4
であり、解と係数の関係より、ｓ、ｔは、２次方程式
ｘ^2−(1/2)ｘ−1/4＝0
の解、すなわち αとβであり、これを使って、
p[n+2]−αp[n+1]＝β(p[n+1]−αp[n])
p[n+2]−βp[n+1]＝α(p[n+1]−βp[n])
さらに (4) の漸化式は n=2 でも成り立つので、
p[n+1]−αp[n]＝β^(n-2)(p[3]−αp[2])
p[n+1]−βp[n]＝α^(n-2)(p[3]−βp[2])
と書けます。差をとって
(β−α)p[n]＝β^(n-2)(p[3]−αp[2])−α^(n-2)(p[3]−βp[2])
＝β^(n-2)/8−α^(n-2)/8
ここで、ｘ^2−(1/2)ｘ−1/4＝0 を解いて
ｘ＝(1±√5)/4
α＜β より β−α＝√5/2
p[n]＝β^(n-2)/4√5−α^(n-2)/4√5
以上より
ａ＝−１/4√5、 ｂ＝１/4√5
p[1]＝p[2]＝0 より、求める確率は
Σ[n=3〜∞]p[n]
|α|＜１ |β|＜１ より
Σ[n=3〜∞]β^(n-2)＝β/(1−β)＝(1＋√5)/(3−√5)
Σ[n=3〜∞]α^(n-2)＝α/(1−α)＝(1−√5)/(3＋√5)
にそれぞれ収束するので、
Σ[n=3〜∞]p[n]＝{(1＋√5)/(3−√5)−(1−√5)/(3＋√5)}/4√5
＝1/2
No.61241 - 2019/09/10(Tue) 14:01:37
