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記事No.61211に関するスレッドです
★ 極限の証明問題 / YUKI
aを任意の正の数として、この証明を教えて下さいませんか？
No.61211 - 2019/09/08(Sun) 20:56:40
☆ Re: 極限の証明問題 / X
n→∞を考えるのでa+1≦nとしても問題ありません。
このとき
(a^n)/n!={(a^a)/a!}{a^(n-a)}/(n!/a!)
≦{(a^a)/a!}{a^(n-a)}/(a+1)^(n-a)
={(a^a)/a!}{a/(a+1)}^(n-a)}
∴0＜(a^n)/n!≦{(a^a)/a!}{a/(a+1)}^(n-a)}
よってはさみうちの原理により
問題の等式は成立します。
No.61212 - 2019/09/08(Sun) 21:38:57
☆ Re: 極限の証明問題 / らすかる
＞Xさん

aは整数とは言っていないので「a!」はまずいと思います。

aより大きい適当な整数をmとすればn＞mで
a^n/n!=(a^m/m!){a^(n-m)/(n!/m!)}
≦(a^m/m!){a^(n-m)/(m+1)^(n-m)}
=(a^m/m!){a/(m+1)}^(n-m)
から
0≦lim[n→∞]a^n/n!≦(a^m/m!)lim[n→∞]{a/(m+1)}^(n-m)=0
なのでlim[n→∞]a^n/n!=0
のようにすればいいですね。
No.61213 - 2019/09/08(Sun) 23:15:32
☆ Re: 極限の証明問題 / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>YUKIさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.61215 - 2019/09/09(Mon) 04:28:41
☆ Re: 極限の証明問題 / YUKI
一点だけわからないところがあるので教えて下さいますか？

n!/m!≧(m+1)^(n-m)になる理由が分からないです。すみません、ご教授願いたいです。

> ＞Xさん
>
> aは整数とは言っていないので「a!」はまずいと思います。
>
> aより大きい適当な整数をmとすればn＞mで
> a^n/n!=(a^m/m!){a^(n-m)/(n!/m!)}
> ≦(a^m/m!){a^(n-m)/(m+1)^(n-m)}
> =(a^m/m!){a/(m+1)}^(n-m)
> から
> 0≦lim[n→∞]a^n/n!≦(a^m/m!)lim[n→∞]{a/(m+1)}^(n-m)=0
> なのでlim[n→∞]a^n/n!=0
> のようにすればいいですね。
No.61253 - 2019/09/11(Wed) 02:37:32
☆ Re: 極限の証明問題 / らすかる
n!/m!=n・(n-1)・(n-2)・…・(m+2)・(m+1)
≧(m+1)・(m+1)・(m+1)・…・(m+1)・(m+1)=(m+1)^(n-m)

# 等号はn=m+1のときですが、nは大きいときを考えますのでなくても構いません。
# ただし、limを付けた時は等号は必要です。
No.61254 - 2019/09/11(Wed) 03:39:13
☆ Re: 極限の証明問題 / YUKI
お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。
No.61266 - 2019/09/12(Thu) 00:51:21