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記事No.61294に関するスレッドです
★ 代数 / 代数
可換環Z/54Z＝{0.1.2.….53}について聖域ではないことを示し、１７の逆元を求めよ。

解法がわかりません。解説できる方よろしくお願いいたします。
No.61267 - 2019/09/12(Thu) 10:09:03
☆ Re: 代数 / ＩＴ
「整域」の定義は分かりますか？
No.61268 - 2019/09/12(Thu) 12:20:27
☆ Re: 代数 / 代数
> 「整域」の定義は分かりますか？

零元以外に零因子を持たない。ですね。
No.61269 - 2019/09/12(Thu) 13:17:20
☆ Re: 代数 / ＩＴ
（前半）
零因子があることを示せば良いですから、
例えば　2*27 を計算すれば示せます。

（後半）
零因子でない　5,7,11,.... などと17との積を計算して探せば見つかります。
No.61287 - 2019/09/12(Thu) 21:12:48
☆ Re: 代数 / 代数
前半は理解できました！

後半は、自身の逆元の理解としての回答としては

5×17=17×5＝85　となるから、５は１７の逆元であるといえる。という回答でよいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.61289 - 2019/09/12(Thu) 21:29:14
☆ Re: 代数 / ＩＴ
> 後半は、自身の逆元の理解としての回答としては
>
> 5×17=17×5＝85　となるから、５は１７の逆元であるといえる。という回答でよいのでしょうか？
間違っていると思います。
「逆元」の定義は、どうなっていますか？
No.61290 - 2019/09/12(Thu) 21:48:22
☆ Re: 代数 / 代数
逆元の定義は

「a・x=x・a=1を満たすｘ」　です。

つまり17の逆元は

17・1/17=1/17・17=1　となるから、1/17は17の逆元といえる。という回答になる？のでよいのでしょうか？
No.61291 - 2019/09/12(Thu) 22:02:47
☆ Re: 代数 / ＩＴ
>
> 17・1/17=1/17・17=1　となるから、1/17は17の逆元といえる。という回答になる？のでよいのでしょうか？
ダメです。

可換環Z/54Z＝{0.1.2.….53} の元でなければなりません。

例題などでもう少し簡単な場合の説明がありませんでしたか？
No.61292 - 2019/09/12(Thu) 22:15:10
☆ Re: 代数 / 代数
例題はそもそもないですね・・・。テキストのみしか配られないので。

ネットでも一日中調べつくしているのですが確信的な理解に至れず。。。でもやらなくてはならずで。。。

索引からみても「逆元」の該当ページには写真のような解説しかないです。

定義からするとあっているとは思うのですが、なぜだめなのでしょうか？１７は元に含まれていないということなのでしょうか？
No.61294 - 2019/09/12(Thu) 22:30:40
☆ Re: 代数 / ＩＴ
> 例題はそもそもないですね・・・。テキストのみしか配られないので。

授業で説明があったのではないですか？
特に、「可換環Z/54Z」が（類似の環での演算についての）説明なしにいきなり出題されることはないと思います。
>
> 定義からするとあっているとは思うのですが、なぜだめなのでしょうか？１７は元に含まれていないということなのでしょうか？
「1/17 」（という表現）が　問題で対象となっている環の元（を表現するもの）でないということです。

繰り返しになりますが

零因子でない　5,7,11,.... などと17との積を計算して探せば見つかります。

「可換環Z/54Z」での演算が分かっておられないなら　この問題を解くことは無理だと思います。
No.61295 - 2019/09/12(Thu) 22:36:59
☆ Re: 代数 / 代数
ちょっと特殊なのですが...授業というものはなく、テキストとテストのみなので自力で頑張るしかないです。

一つ一つの言葉を理解しつつやっていますが。理解しきれない部分や認識が異なってる場合もあるとは思います。（お手数をかけさせてすみません）

例えば　5×17＝85　の積があるとしたら

1から５３の中で　８５が１になるような値を探すということなのでしょうか？？

No.61296 - 2019/09/12(Thu) 22:51:52
☆ Re: 代数 / ＩＴ
>
> 例えば　5×17＝85　の積があるとしたら
>
> 1から５３の中で　８５が１になるような値を探すということなのでしょうか？？
>

違います。（意味不明です）

「可換環Z/54Z」の（類似含むの）説明はテキストにないのですか？
ないのなら「剰余環」で検索して　その性質を勉強されることをお勧めします。

https://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2016/07.pdf
No.61297 - 2019/09/12(Thu) 23:17:43
☆ Re: 代数 / 代数
ＩＴさん！ありがとうございます！

またよろしければよろしくお願いします！
No.61299 - 2019/09/13(Fri) 00:16:08