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記事No.61301に関するスレッドです
★ 全然答えにたどり着きません / おざいく
よろしくお願いします🥺
No.61301 - 2019/09/13(Fri) 02:41:05
☆ Re: 全然答えにたどり着きません / らすかる
(その1)
y=x/(x^2-1) … (1)
y'=-(x^2+1)/(x^2-1)^2 … (2)
y''=2x(x^2+3)/(x^2-1)^3 … (3)
(1)から
x=±1で定義されず
lim[x→-1-0]y=-∞
lim[x→-1+0]y=+∞
lim[x→1-0]y=-∞
lim[x→1+0]y=+∞
また
lim[x→±∞]y=0
x軸との交点はx=0のみ
(2)から
(x^2+1)＞0,(x^2-1)^2＞0（∵x≠±1）なのでy'＜0
よって定義される全区間で減少なので
極値は存在しない。
またx=0のときy'=-1なので原点における接線はy=-x
(3)から
x＜-1のときy''＜0なので上に凸
-1＜x＜0のときy''＞0なので下に凸
x=0のときy''=0でx=0の前後で符号が変わるので変曲点
0＜x＜1のときy''＜0なので上に凸
1＜xのときy''＞0なので下に凸
従ってグラフは
x＜-1では
y=0とx=-1が漸近線となるように
y＜0かつx＜-1の領域に上に凸な曲線
（y=1/xの第3象限のような曲線）
描く目安としてx=-3のときy=-3/8、
x=-2のときy=-2/3、x=-3/2のときy=-6/5
-1＜x≦0では
x=-1が漸近線となるように
y＞0かつ-1＜x≦0の領域に下に凸な曲線で
原点を通り、原点でy=-xに接する
描く目安としてx=-3/4のときy=12/7、x=-1/2のときy=2/3、
x=-1/4のときy=4/15、そしてx=0のときy=0
yは奇関数なので
x≧0の範囲のグラフはx≦0の範囲のグラフと
原点に関して点対称に描けばよい。
No.61307 - 2019/09/13(Fri) 05:17:02
☆ Re: 全然答えにたどり着きません / らすかる
(その2)
y=x-2√x … (1)
y'=1-1/√x … (2)
y''=1/(2x√x) … (3)
(1)から
yはx＜0で定義されず
lim[x→∞]y=+∞
また
x-2√x=0を解くとx=0,4なので
x軸との交点はx=0,4の2点
(2)から
0＜x＜1のときy'＜0
x=1のときy'=0
1＜xのときy'＞0
よって0＜x＜1で減少、1＜xで増加なので
x=1のとき極小値-1（(1)より）をとる
また
lim[x→+0]y'=-∞でx=0のときy=0なので
原点でy軸に接する
x=4のときy'=1/2なので
(4,0)でy=(1/2)x-2に接する
(3)から
x＞0のときy''＞0なので
定義される全区間で下に凸であり
変曲点は存在しない。
従ってグラフは
0≦x≦1では
原点でy軸に接し、(1,-1)でx=-1に接する下に凸な曲線
描く目安としてx=0のときy=0、x=1/4のときy=-3/4、
x=1/2のときy=1/2-√2≒-0.914、x=1のときy=-1
1≦x≦4では
(1,-1)でx=-1に接し、(4,0)でy=(1/2)x-2に接する下に凸な曲線
描く目安としてx=1のときy=-1、x=2のときy=2-2√2≒-0.828、
x=3のときy=3-2√3=-0.464、x=4のとき0
4≦xでは
(4,0)でy=(1/2)x-2に接し、+∞に発散する下に凸な曲線
ただしx→+∞のときy''→+0なのでxが大きいとき直線に近く、
またx→+∞でもy=xより下にある
描く目安としてx=4のとき0、x=9のとき3、x=16のとき8
No.61308 - 2019/09/13(Fri) 05:41:22