[ 掲示板に戻る ]
記事No.61319に関するスレッドです
★ (No Subject) / どこが間違ってますか？
この画像の式変形で同地でないのは1-2段目の変形ですよね？
なぜこれが成り立たないのですか？

普段無意識にルートの中身を分解していましたが、いつもの(
√ab=√b*√aみたいなの)は abがどのような場合に成り立つのでしょうか。
No.61319 - 2019/09/14(Sat) 21:23:58
☆ Re: / GandB
「負の数の平方根でよくある間違い」で検索
No.61321 - 2019/09/14(Sat) 22:06:27
☆ Re: / どこが間違ってますか？
Gandさんありがとうございます。


−1 の平方根の1つ(2つあるが)をあらかじめ指定しておき、それを i で表すところで、
一意性が崩れるから、この式は成り立たないということであってますか？

正の実数(0も含む)に対して正の平方根(0のときは0)がただ一つに定まるということが成り立つから、a>=0∧b>=0→√ab=√b*√a
ということですか？
No.61323 - 2019/09/14(Sat) 22:27:37
☆ Re: / 数学好きの高校生
中学三年生の教科書に、正の数a,bに対して成り立つ、と記されています。

例えば、対数についてもlog6=log(2×3)=log2+log3ですが、
log6=log{(-2)×(-3)}≠log(-2)+log(-3)ですよね？

因みにですが、-1の平方根は±iですが、根号√は、二乗して中身になる数のうち符号が正であるものをあらわすので√(-1）=iであり、この定義以外は式変形で用いることはできません。もしiがルートの中身に自由に入ったり出て行ったりできるならば、√1=-1という等式が成り立ってしまい、演算に支障をきたします。
No.61326 - 2019/09/15(Sun) 10:37:23
☆ Re: / らすかる
> 根号√は、二乗して中身になる数のうち符号が正であるものをあらわすので
> √(-1）=iであり

「二乗して中身になる数のうち符号が正であるものをあらわす」のは
中身が負でない実数の場合だけです。
虚数に符号はありませんので、iは「符号は正」とは言えません。
2乗して-1になる二つの虚数のうちの一つに「i」という名前を
付けているだけであり、「符号が正の方をiとしている」わけではありません。
No.61328 - 2019/09/15(Sun) 12:31:08
☆ Re: / 数学好きの高校生
らすかるさん

ご指摘ありがとうございます。私の理解不足でした。二乗して-1になる2数をα，βとするとα+β=0であり、二次方程式を解く上でα=iであってもβ=iであっても(iと-iが出てくるので)問題なく、あくまで-1の平方根の1つをiと表記しているだけなんですね。
1の三乗根の２つの虚数のうちの1つをωと表すのと同じようなものと解釈できました。

-1の平方根の1つをiと定めたところで-1の平方根は±iと表されますが、√-1=iとするのは√-1が二乗して-1になる数のうちiの係数(虚部)が正のものだから、ととらえてよろしいでしょうか？同様に、√-a=(√a)i(a>0)とするのは、√-aが二乗して-aになる数のうち虚部が正のものを表すから、ということでよろしいでしょうか？
No.61342 - 2019/09/16(Mon) 13:10:22
☆ Re: / らすかる
> √-1=iとするのは√-1が二乗して-1になる数のうちiの係数(虚部)が
> 正のものだから、ととらえてよろしいでしょうか？
それは順番が違うと思います。
『-1の平方根がiと-iの二つあり、そのうち一つを選んで√(-1)とする』
のではなく、√(-1)は虚数単位の定義段階の話ですから
『√(-1)を-1の平方根のうちの一つとして、それをiという文字で書くことにする』
（その結果残りの平方根は-iになる）
ということだと思いますので、「係数が正」という考え方にはなりませんね。
1の虚数三乗根の一つを「ω」とおくときも「係数が正」などとは
考えていませんよね。それと同じです。
No.61344 - 2019/09/16(Mon) 16:42:48
☆ Re: / 数学好きの高校生
√(-1)=iが定義段階での話ということはよくわかりました。
-1の平方根の一つを√(-1)と表記し、それをiと置くことが最初であって、そこから-iがもう一つの平方根だといえるのですね。
くどいようで申し訳ないですが、√(-a)=(√a)i(以下a>0)というのも、定義段階での話ということでよろしいですか？
√(-a)=√(-1)×√aという計算則はなさそうですし、-aの平方根のひとつを√(-a)と表記し、それを(√a)iと表すという順番で正しいですか？

チャート式には
√(-a)＝(√a)i 特に√(-1)=i

その下段の解説には
-3の平方根は±(√3)iだが、√(-3)はそのうち(√3)iを表すことにする
一般に、√(-a)=(√a)iと定める

と書かれています。

i~2=-1という定義から-aの平方根が±(√a)iであることを導き(定義し)、√(-a)=(√a)iと表すと定義して、a=1の場合に特に√(-1)=iとなる、という順番で定義されたか、
もしくは√(-a)=(√a)iと√(-1)=iは別々に定義された
と解釈してよろしいですか？

定義だからそもそも導くものではありませんが、
√(-a)=(√a)i⇒√(-1)=iは演繹によって真であるのに対し
√(-1)=i⇒√(-a)=(√a)iは真偽が判定できません。

つまり、√(-a)=(√a)iという定義(ここでは定義ではなく等式としたほうがよい)は、√(-1)=iという定義のみに基づいて示すことは不可能ですよね？、といった趣旨の疑問です。

長くて申し訳ありません。定義だからそれにいちいち拘るのはおかしいのは承知です。
No.61346 - 2019/09/16(Mon) 19:22:24
☆ Re: / らすかる
> √(-a)=(√a)i(以下a>0)というのも、定義段階での話ということでよろしいですか？
√(-1)=iは定義段階だとしても√(-a)=(√a)iは別でしょうね。

> √(-a)=√(-1)×√aという計算則はなさそうですし、-aの平方根のひとつを
> √(-a)と表記し、それを(√a)iと表すという順番で正しいですか？
ここらへんは√(-a)がどういうふうに定義されるかによって変わると思いますが、
普通に（それまでに決まっていて使って良いものを使って）求めるとしたら
x^2=-a
x^2/a=-1
(x/√a)^2=-1
x/√a=±√(-1)=±i
x=(√a)・±i
なので、√(-a)と書いた場合はa=1のときにつじつまが合うように
√(-a)=(√a)iとする
のようにするぐらいかと思います。

> i~2=-1という定義から-aの平方根が±(√a)iであることを導き(定義し)、√(-a)=(√a)iと表すと定義して、a=1の場合に特に√(-1)=iとなる、という順番で定義されたか、
> もしくは√(-a)=(√a)iと√(-1)=iは別々に定義された
> と解釈してよろしいですか？
そうですね。このへんは本によって定義の細かい順番は違う可能性がありますので、
その本の書き方に合うような解釈を考えればよいと思います。

> つまり、√(-a)=(√a)iという定義(ここでは定義ではなく等式としたほうがよい)は、
> √(-1)=iという定義のみに基づいて示すことは不可能ですよね？、といった趣旨の疑問です。
そうですね。√(-a)の定義がない以上、「示す」のは不可能だと思いますが、
他のいろいろなものの定義であるように、
「今まで定義されたものと矛盾しないように定義を拡張している」
と考えればよいと思います。
No.61354 - 2019/09/16(Mon) 21:50:35