kitano です、私の考え方の後押しをおねがいします。
問題と私の考え方
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何卒宜しく御願い致します。
kitano
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No.61430 - 2019/09/21(Sat) 06:10:20
| ☆ Re: 最大値と最小値 / らすかる | | | そこまでの経過を極力使うならば、
「c=3/2のとき最小値」が正しくないのでそこから変えて
まずf(c)は
f(c)=2{c-(3-b)/2}^2+3{(b-1)^2+2}/2
であり、bが何であってもcが軸の位置で最小値をとりますので
c=(3-b)/2のとき最小です。
これをf(c)の式に代入すると
3{(b-1)^2+2}/2となり、これはb=1のときに最小値をとります。
従ってc=(3-b)/2=1なのでa=3-b-c=1となり、
(a,b,c)=(1,1,1)のときに最小値3とわかります。
またf(c)が最大値をとるのは定義域の端つまりc=0またはc=3であり
c=0のときf(0)=2b^2-6b+9=2(b-3/2)^2+9/2から
b=0またはb=3で最大値9、
c=3のときはb=0なのでやはり同じ値9をとり、
結局(b,c)=(0,0),(0,3),(3,0)つまり
(a,b,c)=(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)で最大値9をとることになります。
2b^2+2bc+2c^2-6b-6c+9の先を変えてよければ、
以下のように解けます。
2b^2+2bc+2c^2-6b-6c+9はb+c=u,b-c=vとおけば
u^2+v^2=2b^2+2c^2
(u^2-v^2)/2=2bcなので
2b^2+2bc+2c^2-6b-6c+9
=u^2+v^2+(u^2-v^2)/2-6u+9
={3(u-2)^2+v^2}/2+3 … (1)
と変形できて、これはu-2=0,v=0という値をとれれば
そのときに最小値3をとります。
実際、u-2=b+c-2=0,v=b-c=0からb=c=1となり
この値はとれますので、
a=b=c=1のときに最小値3をとることになります。
また、b+cの最大値は3、b-cの最大値も3なので
(1)からu=v=3のとき最大値9をとることもわかります。
b+c=3,b-c=3のときb=3,c=0なのでa=0ですが
対称なので(a,b,c)=(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)のときに
最大値9をとります。
最初から変えてよければ、abc空間で図形的に考えると簡単に解けます。
abc空間で
a+b+c=3,a≧0,b≧0,c≧0は(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)を
3頂点とする正三角形で、a^2+b^2+c^2=r^2は原点中心の球
点と平面の距離の公式により
原点から平面a+b+c=3までの距離は√3なので
rの最小値は√3、従ってa^2+b^2+c^2=r^2の最小値は3
（a=b=c=1のとき）
また三角形a+b+c=3,a≧0,b≧0,c≧0の周及び内部で
原点から最も遠いのは(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)の3点なので
rの最大値は3、従ってa^2+b^2+c^2=r^2の最大値は9
（a,b,cのうちどれか一つが3で残りの2つが0のとき）
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No.61431 - 2019/09/21(Sat) 07:26:37 |
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