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記事No.61502に関するスレッドです
★
関数の列
/ ポム
引用
未修の分野で分かりません。お願いします。
No.61502 - 2019/09/25(Wed) 06:18:23
☆
Re: 関数の列
/ らすかる
引用
Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)-k(cost)^(k-1)
=Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)
-Σ[k=1〜n]k(cost)^(k-1)
=Σ[k=3〜n+2]k(cost)^(k-1)
-Σ[k=1〜n]k(cost)^(k-1)
=(n+2)(cost)^(n+1)+(n+1)(cost)^n-2cost-1
なので
f[n](x)=∫[0〜x]{Σ[k=1〜n](k+2)(cost)^(k+1)-k(cost)^(k-1)}sintdt
=∫[0〜x]{(n+2)(cost)^(n+1)+(n+1)(cost)^n-2cost-1}sintdt
=-∫[1〜cosx]{(n+2)u^(n+1)+(n+1)u^n-2u-1}du （cost=uとおいた）
=-[u^(n+2)+u^(n+1)-u^2-u][1〜cosx]
=-{(cosx)^(n+2)+(cosx)^(n+1)-(cosx)^2-cosx}
={1-(cosx)^n}(1+cosx)cosx
x=2nπのときcosx=1なのでf[n](x)=0
x=(2n+1)πのときcosx=-1なのでf[n](x)=0
それ以外のとき|cosx|＜1なのでlim[n→∞](cosx)^n=0
よって
lim[n→∞]f[n](x)=
0 （x=nπのとき）
(1+cosx)cosx （それ以外のとき）
lim[x→2π]{f(x)-f(2π)}
=lim[x→2π]f(x)
={1+cos(2π)}cos(2π)
=2
# 計算はご確認下さい。
No.61504 - 2019/09/25(Wed) 12:35:57
