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記事No.61557に関するスレッドです
★ 整数問題の解説 / forex
2019年北海道大学理系第2問です。
nを自然数としてanを画像のように定めたとき、anとan+3の最大公約数dnは偶数であることを示す問題です。
私はユークリッドの互除法を用いて画像のように解きましたが、解説では画像の点線以下のような解き方がされていました。
なぜanとan+3の差が偶数であれば最大公約数が偶数であるといえるのか教えてください。
No.61557 - 2019/09/28(Sat) 21:34:27
☆ Re: 整数問題の解説 / らすかる
問題も点線以下の解説も変ですね。
「差が偶数」からd[n]は偶数とは言えませんので
その解説がその3行だけなら誤りです。
d[n]が偶数と言えるためには差をとった2項が偶数である必要が
ありますが、差をとった2項が偶数ならば、差をとるまでもなく
明らかに最大公約数は偶数です。

例えば
a[n]=n(n+1)は連続2自然数の積なので偶数。
全項が偶数だからa[n]とa[n+3]の最大公約数も偶数。
の2行で終わりだと思います。
No.61558 - 2019/09/28(Sat) 22:23:54
☆ Re: 整数問題の解説 / forex
ご回答ありがとうございます。
解説を確認しましたが、画像の点線以下の記述とa[n]とa[n+3]を書き下した式がありましたのでa[n]もa[n+3]もともに偶数だということを暗に示していたのだと思われます。
そうであるならば、そもそも差をとって偶数ということを式で示した記述は不要であるように感じます。
とにかく、自分自身納得できたので良しとします。
No.61559 - 2019/09/28(Sat) 22:47:21
☆ Re: 整数問題の解説 / ＩＴ
これは、元の問題のごく一部ですね。
全体は、
ｎを自然数とし、a[n]=n(n+1)とする。さらに、a[n]とa[n+3]の最大公約数をd[n]とする。
（１）d[n]は偶数であることを示せ。
（２）d[n]は８で割り切れないことを示せ。
（３）ｐを５以上の素数とするとき,d[n]はｐで割り切れないことを示せ。
（４）d[n]≦12を示せ、また、d[n]＝12となるnを１つ求めよ。

となっています。
（１）は、大問２の中での比重はごく小さいので、どこまでていねいに証明するかはありますが、「示せ」というからには、簡単な事項だからこそ「明らかに・・」ではダメで、ていねいに証明する必要があると思います。

ｎが偶数のときと奇数のときに分けてa[n]が偶数であることを示すのが良いかも知れません。

forexさんの解答では、各a[n]が偶数といえる根拠を明記していないので不十分ですね。（ユークリッドの互除法は無用ですし、ポイントが書いてないのでほぼ０点と思います。）

それにしても、解説のa[n+3]とa[n]の差をとる方法は意味不明ですね。ちゃんとした問題集ですか？
No.61562 - 2019/09/29(Sun) 03:22:46