[ 掲示板に戻る ]
記事No.61610に関するスレッドです
★ (No Subject) / メ
この手の対称性を考える積分で、どのような発想で置換しているのかが分かりません…雑な質問で申し訳ないのですが、解説をお願いします……
No.61610 - 2019/10/02(Wed) 00:14:57
☆ Re: / X
求めたい定積分を

積分区間を変えずに積分の向きが逆になる

ように置換し、

その結果と元の定積分との和を考える

ことで、

被積分関数を積分が簡単な形にできる

場合がある、と私は解釈しました。
(対称性、と考えてしまうと
添付写真の下の方の練習問題への
応用ができません。)
No.61611 - 2019/10/02(Wed) 01:08:24
☆ Re: / メ
ありがとうございます。色々と考えたのですが、、
例えばf(x)の積分を考える時、積分区間が0~aである時、そのど真ん中のa/2に関してf(x)と対称な関数をg(x)、即ちf(a-x)とする時に、、この(a-x)をtと置けば、画像の様に元の積分式が導かれる……

よって、、適当に自由にh(x)を考える時、
?@?怒f(x)×h(x)}dx
を0~aまで積分する時、f(x)の方のみの対称性を考え、、
t=a-xと置いて?@を変形すると、結局は区間も変わらず、f(x)の部分も変わらず、dxの部分も変わらず、h(x)の部分のみがu(x)となり、結局、
?@=?怒f(x)×u(x)}dx (但し区間は0~a)。となり、この両辺同士を足し合わせたりすれば色々都合が上手いこと行き、解ける、、みたいなのが定石という感じでしょうか…？
No.61614 - 2019/10/02(Wed) 05:21:54
☆ Re: / メ
すいません、もう少し別の言い方をしてみますね……

f(x)を0~aまで積分するとする時、この時、x=a/2に関して対称な関数として、f(a-x)は即断定できる。
この時、0~aまでの積分であれば、f(x)を積分しようがf(a-x)を積分しようが変わらない。。よって、f(x)をそのままf(a-x)に書き換えても良い。。


以上より、例えば、このf(x)と、適当に自由なg(x)を考える時、

?@I=?怒f(x)g(x)}dx (但し区間0~a)

という式は、まずはf(x)をそのままf(a-x)に書き換え、
?AI=?怒f(a-x)g(x)}dx (但し区間0~a)としても良い。

三角関数の被積分関数ならば、この?Aの時点でも、?@との和や差を考えれば解ける場合もある(画像の様なやつ)

そしてこの?Aでも足りなければ、a-x=tと置換して、最終的に、
?BI=?怒f(x)g(a-x)}dx (但し区間0~a)

とまで変形でき、?@や?Aや?B同士で、和差を考えればIを求められる、というような定石的解法なのかなと思ったのですが、こんな感じの考え方は正しいでしょうか？
No.61616 - 2019/10/02(Wed) 07:48:04
☆ Re: / らすかる
> この時、0〜aまでの積分であれば、f(x)を積分しようがf(a-x)を積分しようが
> 変わらない。。よって、f(x)をそのままf(a-x)に書き換えても良い。。
これは問題ないですが

> 以上より、例えば、このf(x)と、適当に自由なg(x)を考える時、
>
> ?@I=?怒f(x)g(x)}dx (但し区間0〜a)
>
> という式は、まずはf(x)をそのままf(a-x)に書き換え、
> ?AI=?怒f(a-x)g(x)}dx (但し区間0〜a)としても良い。
これは成り立ちません。

例えばf(x)=x, a=1として
∫[0〜1]xdxと∫[0〜1](1-x)dxはもちろん一致しますが、
g(x)=xとして
∫[0〜1]x^2dxと∫[0〜1](1-x)xdxは一致しません。

# どんな関数の積分においても、「区間を反転してもよい」と考えるのではなく、
# 「区間を反転したらどうなるか？」と考えるのが安全でよいと思います。
# ∫[0〜π/2]sinx/(sinx+cosx)dx ならば試しにx=π/2-tとおいてみると
# ∫[0〜π/2]sinx/(sinx+cosx)dx
# = ∫[π/2〜0]sin(π/2-t)/{sin(π/2-t)+cos(π/2-t)} (-dt)
# = ∫[π/2〜0]cost/(cost+sint) (-dt)
# = ∫[0〜π/2]cost/(sint+cost)dt
# = ∫[0〜π/2]cosx/(sinx+cosx)dx
# となり元の積分と足すと∫[0〜π/2]dx=π/2なのでπ/4になる、など。
No.61617 - 2019/10/02(Wed) 08:09:24
☆ Re: / メ
ありがとうございます、理解できました！
No.61642 - 2019/10/03(Thu) 04:51:47