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記事No.61684に関するスレッドです
★ sin6° / YUKI
これどう思われますか？
No.61684 - 2019/10/06(Sun) 03:27:01
☆ Re: sin6° / らすかる
10^(k+1)-1 は 99,999,9999,…
(2/3){10^(k+1)-1} は 66,666,6666,…
66,666,6666,…を360で割った余りは
66,306,186,66,306,186,…
sin(66°)+sin(306°)+sin(186°)=0なので
Σ[k=1〜3n-1]sin((2/3)(10^(k+1)-1))°
=Σ[k=1〜2]sin((2/3)(10^(k+1)-1))°
=sin66°+sin306°
=sin66°-sin54°
=2cos60°sin6°　（∵和積公式）
=sin6°
No.61685 - 2019/10/06(Sun) 03:36:15
☆ Re: sin6° / YUKI
はや！！素晴らしいです！！
No.61687 - 2019/10/06(Sun) 03:37:38
☆ Re: sin6° / YUKI
あまりの速さにお聞きしたいのですが


sin(66°)+sin(306°)+sin(186°)=0はなぜ計算できたのですか？

私はこういう方法でしかわかりません。

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=cos%282%CF%80%2F15%29%2B1%2F4%28-1-%E2%88%9A5%29-sin%28%CF%80%2F30%29
No.61688 - 2019/10/06(Sun) 03:59:12
☆ Re: sin6° / YUKI
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sin%2866%C2%B0%29%2Bsin%28306%C2%B0%29%2Bsin%28186%C2%B0%29%3D0

真ですって！
No.61689 - 2019/10/06(Sun) 09:14:04
☆ Re: sin6° / らすかる
それぞれの角度が120°差ですから、xy平面で
(cos66°,sin66°), (cos306°,sin306°), (cos186°,sin186°)
の3点は原点を重心とする正三角形になります。
ということは
{(cos66°,sin66°)+(cos306°,sin306°)+(cos186°,sin186°)}/3=(0,0)
ですから、
cos66°+cos306°+cos186°=0
sin66°+sin306°+sin186°=0
となります。
No.61690 - 2019/10/06(Sun) 09:41:07
☆ Re: sin6° / YUKI
ありがとうございます！！ウルフラムにも頼らないエレガントな解法があるんですね。

感動ものです！
No.61691 - 2019/10/06(Sun) 10:09:38