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記事No.61903に関するスレッドです
★ 数列の極限 / forex
2019年東北大学理系第3問の補足解説についての質問です。
画像において、「n≧2のとき、｜x(n)｜≦1/2」の部分が理解できません。この記述の1/2という値がどのようにして定まったのか解説をお願いします。
No.61903 - 2019/10/18(Fri) 21:25:30
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
「まちがいですね。」という回答は削除しました。


数学的帰納法で示せますね。

まず|x[2]|≦1/2を証明。（やってみてください）

次に2以上の自然数nについて　|x[n]|≦1/2 と仮定すると

　x[n+1]=(1/3)(x[n]+x[n]^2)=(1/3)((x[n]+1/2)^2-1/4) なので
-1/12≦x[n+1]≦1/4 よって　|x[n+1]|≦1/2 。
No.61906 - 2019/10/18(Fri) 23:12:40
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
> この記述の1/2という値がどのようにして定まったのか解説をお願いします。

上記はこの質問の答えにはなってなかったですね。

1/2 でなくて　1/4などでもいいけれど、その解答作成者は1/2にしたということではないかと思います。

ただ証明なしに「|x[n]|≦1/2 」としているのは気になります。
私には「自明」とまでは思えないので証明が要ると思います。
No.61908 - 2019/10/18(Fri) 23:45:37
☆ Re: 数列の極限 / forex
ご回答ありがとうございます。
なんとか示すことはできました。
結局は公比の絶対値が1未満で評価できていれば十分であるということだったのですね。
解説では途中式なしで絶対値が1/2以下という条件を書いていましたのでもっとすんなりと言えるものかと思ってました。
ご回答ありがとうございました。
No.61909 - 2019/10/18(Fri) 23:56:08
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
> 結局は公比の絶対値が1未満で評価できていれば十分であるということだったのですね。
そうですね。

> 解説では途中式なしで絶対値が1/2以下という条件を書いていましたのでもっとすんなりと言えるものかと思ってました。

この小問の前の小問(2) の結果「-1＜x[n]＜0｣を使えば、より容易に示せますね。
No.61910 - 2019/10/19(Sat) 00:08:32
☆ Re: 数列の極限 / forex
ご回答ありがとうございます。
実際の問題を簡単にした類似の漸化式だったので、同様の議論を本問の解説に譲って端折ったのかもしれません。
確かに、本問の(2)を利用すれば容易に示せる気がします。
わざわざ過去問参照の上、ご回答いただきありがとうございました。
No.61913 - 2019/10/19(Sat) 04:09:02
☆ Re: 数列の極限 / ＩＴ
「n≧2のとき　|x[n]|≦1であること」を認めるのなら

|x[n+1]|
＝(1/3)|x[n]+x[n]^2|
＝(1/3)|1+x[n]||x[n]|
≦(2/3)|x[n]|
･･･
≦{(2/3)^n}|x[1]| ＃10月20日14時25分修正#
で良いような気がします。
No.61914 - 2019/10/19(Sat) 07:40:52
☆ Re: 数列の極限 / forex
ご回答ありがとうございます。
確かにそうですね。
教えていただいた階数下げ(？)を繰り返す変形の方がシンプルで分かりやすく感じました。
別解まで示していただいてありがとうございました。
No.61938 - 2019/10/20(Sun) 10:33:20