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記事No.6201に関するスレッドです
★ 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
こんばんは。

三角形の合同条件の証明はどのようにやるのでしょうか？教えて下さい。

ウィキペディアには、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C
ユークリッド幾何学（原論）において、これらはそれぞれ定理として証明されている。一方、ヒルベルトによる幾何学の公理化においても、これらはそれぞれ定理として証明されているが、二辺夾角相等に関しては、これに非常に近い公理が用いられ証明されている。

とありますね。

しかし証明が載っていませんでした。どのように証明するのでしょうか？

また、「二辺挟角相等に関しては、これに非常に近い公理」とありますが、その公理とは何でしょうか？

また、合同条件が証明できれば相似条件も示せるらしいのですが、これはどう示せばよいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。
No.6193 - 2009/06/07(Sun) 21:46:39
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / Light
文章や図から読み取るしかありません。
文章には仮定条件や中点や角の二等分線などの文章が使われています。それらを頼りにする他はないです。

わかりやすく説明すると、幾何学的にそれらの公式（公理）が正しいことが立証されたと言うことです。

合同と相似は似ています。合同が出来ないと、相似で困りますかね。
合同の場合は、線分の長さや角の大きさは等しいです。
相似とは、同じ図形を拡大したり縮小したりすることです。拡大や縮小はして、線分の長さは変わりますが、角の大きさは変わりません。
合同で出てくる、共通の角を使って相似でも使うことが出来ます。相似の場合は、線分の長さが違う為、線分比をを用います。

例えば、次のような問題があったとします。
(例題)　三角形PABに於いて、線分ABの垂直二等分線上の点Pとすると、AB=BPとなる。
このことを、証明せよ。

[証明]　三角形PAMと三角形PBMに於いて
AP=BP (仮定)・・・　1
PM=PM (共通)・・・　2
∠APM＝∠BPM (仮定)・・・　3

1,2,3　より、
2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
三角形PAM　≡　三角形PBM　　//
No.6201 - 2009/06/08(Mon) 00:22:50
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
>文章や図から読み取るしかありません。
とありますが、ここで言う、「文章や図」とはどこの何を指しているのでしょうか？具体的にどこでしょうか？
No.6207 - 2009/06/08(Mon) 20:26:18
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / Light
「線分ABの垂直二等分線をPとする」ということは、垂直二等分線である為、線分ABの中点だということ、垂直二等分線を取るということは、角度が直角になるということです。

図形に、点や線が書いてありますがあれらは線分の長さや角度の大きさが等しいことを示します。

この図の場合は、2通りの証明が出来ます。


例題）　下図のような図形がある。（合同のように見えないかも知れませんが、合同です。）
その図形は、AB=AD,BE=DC　ならば、　BC=DE　であることも証明せよ。



（解説）[証明]　三角形は"Δ" ,合同は"≡",角は"∠"と表す。
ΔAEDとΔACBに於いて、
AB=AD ・・・１（仮定）
BE=DC ・・・２（仮定）
∠EAD=∠CAB ・・・３（共通）　若しくは∠A=∠A　でも可。

１，２，３より、　2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
ΔAED≡ΔACB　
よって、BC=DE　となる。//



文章を読み取って、この角とこの線分は等しいところには印を付ける習慣を付けましょう。

（問）ΔABCはAB=BCの二等辺三角形であり、辺AB,AC上にBD=CDとなるように点D,Eをとるとき、ΔFBCが二等辺三角形であることを証明しなさい。

ヒント：
　証明する三角形の図を、文章から読み取り自分で作図をする。勿論、手書きでよい。
　二等辺三角形を証明したいといっているが、先ずは合同な三角形を証明した後に、二等辺三角形の定理である「二等辺三角形の底角（底の角）は等しい」を使用する。
No.6213 - 2009/06/09(Tue) 20:22:38
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
それで、三角形の合同条件の証明はどのようにやるのでしょうか？
No.6220 - 2009/06/10(Wed) 00:11:01
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / DANDY　U
横から失礼します。次のように考えてみればどうでしょう。

「２つの図形が合同」というのは、「一方を形,大きさを変えずに移動して他方にぴったり
重ね合わせることができる」として考えます。（合同条件以前の段階だから、この定義に戻るしかありません）

【一辺両端角相等の場合】
△ABC と△DEF において、BC=EF,∠B＝∠E,∠C＝∠F　とします。
△ABCを移動していき、辺BCを辺EFに重ねます。、（BC=EFより可能。また、EFに関してAと
Dが反対側にあれば対称移動させます）このとき
∠ABC＝∠EよりAは半直線ED上にきます。
∠ACB＝∠FよりAは半直線FD上にきます。
よって、点Aは半直線ED,FD上にあるので、点Dと重ならざるを得なくなります。
よって、△ABCが△DEFに重ね合わせることができ、合同であるといえます。

他の合同条件も同様に考えられますね。
No.6225 - 2009/06/10(Wed) 08:37:45
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
あ・あの〜…
肝心の、三角形の合同条件の証明はどのようにやるのでしょうか？
という質問に対する答えが欲しいのですけれども……。
No.6241 - 2009/06/11(Thu) 21:00:46
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
すみません。残っていたクッキーでHPを見ていたので、新しい書き込みがあったことに気づかず、古い書き込みを見ていました。今から読みます。上のコメントは勘違いです。すみません。
No.6242 - 2009/06/11(Thu) 21:03:20
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
DANDY　U さん、ありがとうございます。

納得行きました。すばらしい！
これはダンディーUさんが考えた証明ですか？


また、三辺相当、二辺挟角相当、はどうやるのでしょう？

三辺相当について、
△ABC と△DEF において、BC=EF,AB＝DE,CA＝FD　とし、このあとどうやるのでしょう？１辺は重ねることができますが、あと２辺が重なるとは限りませんし。とまりました。

二辺挟角相当においては、
△ABC と△DEF においてAB=DE，∠B=∠E，BC=EFとし、
どう理由をつければよいのでしょう？
これは明らかに明らかですよね…。
証明は、明らかでよいのでしょうか…？
No.6244 - 2009/06/11(Thu) 21:14:58
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / DANDY　U
> これはダンディーUさんが考えた証明ですか？
自分で考えたつもりですが、過去にどこかで見たものが頭の中に残っていたかもしれません。

【三辺相等について】
（AはEFに関してD側になるように、BCをEFに重ねたとします。）
Eを中心にDを通る円を描きます。すると AB=DEより、Aはこの円周上にあります。
また、Fを中心にDを通る円を描きます。すると AC=DFより、Aはこの円周上にあります。
すると、どうしてもAはDと重ならずるを得なくなり、△ABCと△DEFが重なり合同になります。

【二辺夾角相等について】（BCをEFに重ねます）
∠B＝∠E より Aは半直線ED上にきます。ところが BA＝EDより、AはDと重ならざるを得なくなり、
△ABCと△DEFが重なり合同になります。
（私ならこのように説明します）
　
No.6251 - 2009/06/12(Fri) 10:07:57
☆ Re: 三角形の合同条件の証明 / ベジータ
よ〜くわかりましたし、よ〜く納得できました。
すばらしく美しい証明。

ダンディーさんありがとうございました。
No.6261 - 2009/06/13(Sat) 00:07:46