[ 掲示板に戻る ]
記事No.62263に関するスレッドです
★ 積分 / aiko
全部わかりません、
解答もなくて困ってます。

よろしくお願いします！
No.62263 - 2019/11/11(Mon) 00:06:45
☆ Re: 積分 / X
(1)
{(-1)^(n-1)}x^(2n-2)=(-x^2)^(n-1)
∴与式は初項1、公比-x^2の等比数列
の初項から第n項までの和になっています。
∴等比数列の和の公式により
(与式)={1-(-x^2)^(n-1)}/(1+x^2)

(2)
T[n]=∫[0→1]dx/(1+x^2)-{(-1)^n}∫[0→1]{(x^(2n))/(1+x^2)}dx
と置き、数学的帰納法を使って
S[n]=T[n] (A)
であることを示します。

(i)n=1のとき
T[n]=∫[0→1]dx/(1+x^2)+∫[0→1]{(x^2)/(1+x^2)}dx
=∫[0→1]dx
=1
=S[n]
∴(A)は成立

(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定します。
つまり
S[k]=T[k]
このとき
T[k+1]-T[k]={(-1)^k}∫[0→1]{{x^(2k)}/(1+x^2)}dx
-{(-1)^(k+1)}∫[0→1]{{x^(2(k+1))}/(1+x^2)}dx
={(-1)^k}∫[0→1]{{x^(2k)+x^(2(k+1))}/(1+x^2)}dx
={(-1)^k}∫[0→1]{x^(2k)}dx
={(-1)^k}/(2k+1)
={(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
∴T[k+1]=T[k]+{(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
=S[k]+{(-1)^((k+1)-1)}/{2(k+1)-1}
=S[k+1]
∴n=k+1のときも(A)は成立。

(3)
0≦x≦1において
0≦{x^(2n)}/(1+x^2)≦x^(2n)
∴∫[0→1]0dx≦∫[0→1]{{x^(2n)}/(1+x^2)}dx≦∫[0→1]{x^(2n)}dx
各辺の定積分を計算することにより
問題の不等式は成立します。

(4)
(2)(3)の結果を使います。

まず(2)の結果から
|S[n]-∫[0→1]dx/(1+x^2)|=∫[0→1]{{x^(2n)}/(1+x^2)}dx
これに(3)の結果を使うと
0≦|S[n]-∫[0→1]dx/(1+x^2)|≦1/(2n+1)
よってはさみうちの原理により
(問題の無限級数)=lim[n→∞]S[n]
=∫[0→1]dx/(1+x^2)
=π/4
(∵)x=tanθと置いて置換積分
No.62281 - 2019/11/11(Mon) 19:45:46
☆ Re: 積分 / X
ごめんなさい。(2)の記述に問題がありましたので
No.62281を直接修正しました。
再度ご覧ください。
No.62303 - 2019/11/13(Wed) 19:08:45