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記事No.6234に関するスレッドです

高校入試の問題です / rino
次の問題の解き方がわかりません。教えてください。
AD=6cmの長方形ABCDの辺ADを2:1に分ける点をE、線分BEと対角線ACとの交点をFとし、Bから対角線ACに下ろした垂線をBGとする。△BGF∽△BAEであり、辺ABの中点をMとするとき、GMの長さを求めなさい。

No.6228 - 2009/06/10(Wed) 21:54:31

Re: 高校入試の問題です / rino
> 次の問題の解き方がわかりません。教えてください。
> AD=6cmの長方形ABCDの辺ADを2:1に分ける点をE、線分BEと対角線ACとの交点をFとし、Bから対角線ACに下ろした垂線をBGとする。△BGF∽△BAEであり、辺ABの中点をMとするとき、GMの長さを求めなさい。


追伸 答えは4cmらしいのですが、どうしてもわからないのです。

No.6233 - 2009/06/11(Thu) 00:02:08

Re: 高校入試の問題です / ヨッシー
図の●の角度が等しいので、FからABに垂線FHを下ろした
とき、△FHB≡△FGB となり、△EAB戸の相似比より
FH=FG=2.4cm となります。
また、長方形ABCDの面積をSとすると、
△FHB=△FGB=(3/25)S
△AHF=(2/25)S,△BCG=(9/50)S
となり、△FGB:△BCG=2:3 より、
GC=2.4×3/2=3.6(cm)
FA=FC×2/3=4(cm)
より、AC=10cm、
三平方(を使うほどでもありませんが)よりAB=8cm
がわかります。

一方、GからABに下ろした垂線GJの長さは、
 6×(AG/AC)=3.84
また、
 AJ=8×(AG/AC)=5.12
 MJ=AJ−AM=1.12
△GJMにおける三平方の定理より
 GM2=3.842+1.122
  =0.162(242+72)
  =0.162×625=(0.16×25)2
より
 GM=0.16×25=4(cm)

No.6234 - 2009/06/11(Thu) 09:16:20

Re: 高校入試の問題です / angel
蛇足ながら、△AGBは直角三角形のため、斜辺ABの中点Mが外心となります。すなわち、AM=GM=BM=AB/2。
これより、AB=8(cm)が出た時点で、GM=AB/2=4(cm) が分かります。

No.6238 - 2009/06/11(Thu) 12:39:38

Re: 高校入試の問題です / rino
ありがとうございます。幾つか考え方があるのですね。同一円周上にあるとも言えるし、中点連結定理を使って持っていく方法もありますね。ひたすら考えて、意見も読んでやっとわかりました。
No.6256 - 2009/06/12(Fri) 21:15:51