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記事No.62374に関するスレッドです
★ (No Subject) / さくらんぼ
この問題の(2),(3)を、教えてください！
No.62374 - 2019/11/18(Mon) 17:30:12
☆ Re: / X
(1/4)(x-1)^2+(1/3)y^2=1 (A)
とします。

(2)
前半)
(i)α≠π/2のとき
問題の直線の方程式は
y=xtanα (B)
∴点A,Bのx座標をa,b(但しa＜b)とすると
(A)からa,bはxの方程式
(1/4)(x-1)^2+(1/3)(xtanα)^2=1 (C)
の解となります。
(C)より
3(x-1)^2+4(xtanα)^2=12
{3+4(tanα)^2}x^2-6x-9=0
∴解と係数の関係から
a+b=6/{3+4(tanα)^2}
ab=-9/{3+4(tanα)^2}
となるので
(b-a)^2=(a+b)^2-4ab
={6/{3+4(tanα)^2}}^2+36/{3+4(tanα)^2}
={36/{3+4(tanα)^2}^2}{1+{3+4(tanα)^2}}
=4・{36/{3+4(tanα)^2}^2}{1/(cosα)^2}
よって
d=√{(b-a)^2+(btanα-atanα)^2}
=(b-a)/|cosα|
={12/{3+4(tanα)^2}}{1/(cosα)^2}
=12/{3(cosα)^2+4(sinα)^2}
=12/{3+(sinα)^2} (D)
(ii)α=π/2のとき
問題の直線はy軸となります。
ここでy軸と(A)との交点の座標は
(3/2,0),(-3/2,0)
∴d=3
これは(D)にα=π/2を代入したものと
等しくなっています。

以上から
d=12/{3+(sinα)^2}

後半)
問題の直線の方程式はαの値によらず
xsinα-ycosα=0
と書くことができるので、辺ABを底辺
と見たときの△ABFの高さをhとすると
点と直線との間の公式と(1)の結果により
h=|2sinα|/√{(sinα)^2+(-cosα)^2}
=2sinα (注:0≦α＜πにより0≦sinα)
よって
S=(1/2)dh=12(sinα)/{3+(sinα)^2}

(3)
(1)の結果から
dS/dα=(cosα)・12{{3+(sinα)^2}-sinα・2sinα}/{3+(sinα)^2}^2
=12(cosα){3-(sinα)^2}/{3+(sinα)^2}^2
∴0≦α＜π/2におけるSの増減表を書くことにより
Sの最大値は3(このときα=π/2)

(注)
S=12/{sinα+3/sinα) (E)
と変形して(E)の分母に対し、相加平均と相乗平均
の関係を使いたいところですが、不等号の下の
等号成立条件である
sinα=3/sinα
を満たすαが存在しませんのでこの方針は
使えません。
No.62375 - 2019/11/18(Mon) 19:50:17
☆ Re: / さくらんぼ
ありがとうございました！

相加相乗の定義域外なので、
つかえないのですね。
No.62383 - 2019/11/19(Tue) 18:33:16
☆ Re: / X
もう見ていないかもしれませんが、No.62375で
問題のナンバーをつけ間違えていました。
(ごめんなさい)
修正しましたので再度ご覧下さい。
No.62387 - 2019/11/19(Tue) 19:03:14