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記事No.62520に関するスレッドです
★
積分
/ 生鷹
引用
図形が傘型になる積分の問題です。
計算が上手くいかないのと答えがないので困っています。ご教授お願いします┏○┓
No.62520 - 2019/12/02(Mon) 00:37:17
☆
Re: 積分
/ X
引用
(1)
前半)
条件から
P(s/√2,s/√2)
∴直線PQの方程式は
y=-(x-s/√2)+s/√2
整理をして
y=-x+s√2 (A)
よって(A)とCとの交点について
t^2=-t+s√2
∴s=(t^2+t)/√2 (A)'
後半)
条件から
A(1,1)
∴点P、Qの座標について
0≦s/√2≦1
0≦t≦1
ということでs,tの取りうる値の範囲は
0≦s≦√2
0≦t≦1
(2)
(1)により
S=πPQ^2=π{(s/√2-t)^2+(s/√2-t^2)^2}
これに(A)'を代入して
S=π{((t^2+t)/2-t)^2+((t^2+t)/2-t^2)^2}
=(π/4){(t^2-t)^2+(-t^2+t)^2}
=(π/2)(t^2-t)^2
(3)
(2)のSを使うと
V=∫[0→√2]Sds
=(π/2)∫[0→√2]{(t^2-t)^2}ds (B)
ここで(A)'より
ds={(2t+1)/√2}dt
で(1)の結果から
s:0→√2
に
t:0→1
が対応しているので(B)は
V={π/(2√2)}∫[0→1]{(2t+1)(t^2-t)^2}dt
={π/(2√2)}{[(t^2+t)(t^2-t)^2][0→1]-2∫[0→1]{(t^2+t)(t^2-t)(2t-1)}dt}
=-(π/√2)∫[0→1](t^2+t)(t^2-t)(2t-1)dt
=-(π/√2)∫[0→1](t^4-t^2)(2t-1)dt
=-(π/√2)∫[0→1](2t^5-2t^3-t^4+t^2)dt
=-(π/√2)[(1/3)t^6-(1/2)t^4-(1/5)t^5+(1/3)t^3][0→1]
=π/(30√2)
No.62522 - 2019/12/02(Mon) 11:26:58
