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記事No.62530に関するスレッドです
★ 指数を含む方程式 / ま
この方程式の解き方を教えてください
No.62530 - 2019/12/03(Tue) 14:59:24
☆ Re: 指数を含む方程式 / ま
答えはr=1.79となります。
No.62532 - 2019/12/03(Tue) 15:04:05
☆ Re: 指数を含む方程式 / らすかる
1+r=(e^r-1)/r
r+r^2=e^r-1
e^r=r^2+r+1
f(x)=e^x-x^2-x-1とおくと
f'(x)=e^x-2x-1
f''(x)=e^x-2
f''(x)はx＜log2で負、x＞log2で正なので
f'(x)はx＜log2で減少、x＞log2で増加
f'(0)=0,f'(1)=e-3＜0,f'(2)=e^2-5＞0なので
αをf'(α)=0,1＜α＜2を満たす値とすると
f'(x)はx＜0で正、x=0で0、0＜x＜αで負、α＜xで正
よってf(x)はx＜0で増加、0＜x＜αで減少、α＜xで増加
f(0)=0、f(1)=e-3＜0,f(2)=e^2-7＞0なので
βをf(β)=0,1＜β＜2を満たす値とすると
f(x)はx＜0で負、x=0で0、0＜x＜βで負、β＜xで正
従ってf(x)=0の解はx=0,βの二つ
e^2≒7.4からf(2)≒0.4なのでβは2より少し小さい値
a[0]=2として
a[n+1]=a[n]-(e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1)/(e^a[n]-2a[n]-1)
={(a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1}/(e^a[n]-2a[n]-1)
によりニュートン法で計算すると
a[1]=1.8371507060
a[2]=1.7957938603
a[3]=1.7932909822
a[4]=1.7932821330
a[5]=1.7932821329
a[6]=1.7932821329
a[7]=1.7932821329
従ってf(x)=0の解はx≒0,1.7932821329なので
1+r=(e^r-1)/rの解はr≒1.7932821329
No.62534 - 2019/12/03(Tue) 18:46:22
☆ Re: 指数を含む方程式 / GandB
　解答を見たらなるほどだけど、ニュートン法に持ち込むまではけっこう大変ですな。おもしろかったです。
No.62547 - 2019/12/04(Wed) 20:56:53