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記事No.62764に関するスレッドです
★ 至急 / たか
この問題の解説をお願いします
No.62764 - 2019/12/23(Mon) 21:04:59
☆ Re: 至急 / らすかる
(1)
(5n^2+9)÷(n^2+1)=5余り4なので
「n^2+1と5n^2+9の最大公約数」＝「n^2+1と4の最大公約数」
nが偶数のときn^2+1≡1 (mod 4)
nが奇数のときn^2+1≡2 (mod 4)
なので、n^2+1と4の最大公約数はnが偶数のとき1、奇数のとき2
従ってd[n]={3-(-1)^n}/2

(2)
n^2+1は平方数ではないので、(n^2+1)(5n^2+9)が平方数であるためには
n^2+1=ma^2、5n^2+9=mb^2（a,b,mは自然数でm＞1）でなければならない。
(1)から上の式のmが存在するときnが奇数でm=2。
またnが奇数のとき5n^2+9≡2 (mod 4)なのでbは奇数。
奇数を2k+1とおくと(2k+1)^2=4k(k+1)+1≡1 (mod 8)なので
5n^2+9≡6 (mod 8)、mb^2=2b^2≡2 (mod 8)となり
5n^2+9=2b^2を満たす奇数n,bは存在しない。
従って(n^2+1)(5n^2+9)が平方数になることはない。
No.62765 - 2019/12/23(Mon) 22:07:45