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記事No.62836に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ A
引用
解答は(1)がx=e^((1/4)πy),(2)が18分です
(1)のt秒後の体積と表面積をtで微分した値が2とπになるのはわかりますが
そのあとどうしたらいいか全然わからないです
解説お願いします
No.62836 - 2019/12/29(Sun) 21:28:17
☆
Re:
/ A
引用
すみません(1)の解答は3e^((1/4)πy)の間違いです
No.62837 - 2019/12/29(Sun) 21:35:09
☆
Re:
/ X
引用
(1)
問題の水槽の高さがyの時の体積をV(y)
天頂の面積をSとすると
V(y)=π∫[0→y]{{g(y)}^2}dy (A)
S=π{g(y)}^2 (B)
一方条件から
dV/dt=2 (C)
dS/dt=π (D)
(A)(C)より
π(dy/dt){g(y)}^2=2 (C)'
(B)(D)から
2π(dy/dt)g'(y)g(y)=π (D)'
更に条件から
g(0)=3 (E)
(D)'÷(C)'より
2g'(y)/g(y)=π/2 (F)
両辺をyで積分すると
2log{g(y)}=πy/2+C (Cは任意定数) (F)'
(F)'に(E)を使うと
C=2log3
これを(F)に代入して
2log{g(y)}=πy/2+2log3
log{g(y)}=πy/4+log3
よって
g(y)=3e^(πy/4) (G)
注)
この問題は微分方程式を学習していることを前提としています。
現在の高校数学の教育課程では確か微分方程式は範囲外だった
はずですので、解くのは難しいかもしれません。
(特に(F)から(F)'への過程を考える点が難しい)
(2)
(G)を(A)に代入して
V(y)=[(12/π)e^(πy/4)][0→y]
=(12/π){1-e^(πy/4)}
よって条件のときの水槽の高さをY[m]とすると、
V(Y/2)=(12/π){1-e^(πY/8)}=2・90
これをe^(πY/4)についての方程式として解き、
(Yそのものを求める必要はありません)
その結果を使って
V(Y)/2
の値を求めます。
No.62844 - 2019/12/29(Sun) 23:34:00
☆
Re:
/ A
引用
難しいですね...
微分方程式は全然手を付けていませんが
全体の流れはわかったのでこれを参考にしてまた解いてみようと思います
ありがとうございました
No.62860 - 2019/12/30(Mon) 16:23:00
