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記事No.63013に関するスレッドです
★ 図形の極限 / aiko
この問題がわかりません。
答えがなくて困ってます。

よろしくお願いします。

　
No.63013 - 2020/01/11(Sat) 10:06:13
☆ Re: 図形の極限 / ヨッシー
Ｏ[k]＝Ａ[k+1] なので、Ａ[k] の極限を調べます。
点Ａ[n]のＡ[1]からの動きを見ると、
　270度の方向に１進む
　30度の方向に1/3進む
　150度の方向に1/9進む
なので、ｘ座標は
　０＋(√3/2)/3−(√3/2)/9＝√3/3
ｙ座標は
　−１＋1/6＋1/18＝−7/9
よって、Ａ[4]の座標はＡ[1]から(√3/3, −7/9) 進んだところにあります。
これからＡ[7] まではこの動きが 1/27 倍になって起こるので、
Ａ[7]の座標はＡ[4]から(√3/3, −7/9)×1/27 進んだところにあります。
よって、Ａ[3k＋1]の座標は
　(0,1)＋(√3/3, −7/9)(1＋1/27＋・・・1/27^(k-1))
ｋ→∞ の極限を取ると
　1＋1/27＋・・・1/27^(k-1)→27/26
なので、
　Ａ[3k＋1]＝Ｏ[3k]→(9√3/26, 5/26)
Ｏ[3k]からＯ[3k+1], Ｏ[3k+2] の移動量も微小になるので、
　Ｏ[k]→(9√3/26, 5/26)
と考えてもよい。よって、
　ｐ[k]→9√3/26、q[k]→5/26
No.63031 - 2020/01/12(Sun) 09:27:32
☆ Re: 図形の極限 / aiko
正三角形A(k)B(k)C(k)の外側に新しい正三角形A(k+1)B(k+1)C(k+1)を作るのに、O(k)=A(k+1)なんですか？
No.63032 - 2020/01/12(Sun) 12:42:23
☆ Re: 図形の極限 / ヨッシー
失礼しました。
ずっと、内側と読んでいました。
考え方は、内側の場合のものが使えます。


図においてＡ[1]からＡ３[3]まで、−30度の方向に 2/3 進んでいます。
座標で言うと、(√3/3, −1/3）です。
よって、Ａ[2k+1]の座標は
　(0,1)＋(√3/3, −1/3)(1＋1/9＋・・・＋1/9^(k-1))
Ｏ[2k+1] の座標は、ｘ座標は Ａ[2k+1] と同じで、y座標は 1/9^k 下に行ったところなので、
　(0,1)＋(√3/3, −1/3)(1＋1/9＋・・・＋1/9^(k-1))＋(0, −1/9^k)
　→(3√3/8, 5/8)

厳密には、もう少し吟味しないといけないかもしれませんが、おおよそこんな感じです
No.63042 - 2020/01/12(Sun) 21:34:59
☆ Re: 図形の極限 / aiko
もうしわけないです！
ありがとうございました！！理解できました！
いつも本当にありがとうございます
No.63047 - 2020/01/13(Mon) 14:20:37