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記事No.63095に関するスレッドです
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極限計算
/ みそ
引用
極限についての問題がわかりません！この解答を教えてください！！(できれば途中式も教えてください。)
ひとつ目と二つめの問題です。
No.63095 - 2020/01/16(Thu) 14:37:57
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Re: 極限計算
/ X
引用
一問目)
(与式)=lim[x→0]{(1+ax)^{(1/(ax)}}^a
=e^a
(∵)極限によるeの定義式による
二問目)
(与式)=lim[x→0](1-cosx)(1+cosx)/{xsinx(1+cosx)}
=lim[x→0]{1-(cosx)^2}/{xsinx(1+cosx)}
=lim[x→0]{(sinx)^2}/{xsinx(1+cosx)}
=lim[x→0]{(sinx)/x}{1/(1+cosx)}
=1/2
No.63097 - 2020/01/16(Thu) 17:53:09
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Re: 極限計算
/ 関数電卓
引用
３問目)
数値計算をしてみると 1/√e に収束するようで，それは
(1−x^2/2)^(1/x^2)→1/√e (１問目)
と関わるようですが，私にはきちんと評価できません。
どなたか，私にも教えて下さい。
No.63099 - 2020/01/16(Thu) 22:39:24
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Re: 極限計算
/ らすかる
引用
3問目は
lim[x→0](cosx)^{1/(xsinx)}
=lim[x→0]{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(xsinx)}
=lim[x→0]{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(-2(sin(x/2))^2)・-2(sin(x/2))^2/(xsinx)}
=lim[x→0]{{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(-2(sin(x/2))^2)}}^{-2(sin(x/2))^2/(xsinx)}
=lim[x→0]{{1-2(sin(x/2))^2}^{1/(-2(sin(x/2))^2)}}^{-2(sin(x/2))^2/(-2(x/2)^2)・(x/sinx)・(-1/2)}
=e^(-1/2)
=1/√e
No.63100 - 2020/01/17(Fri) 01:26:26
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Re: 極限計算
/ 関数電卓
引用
ふ〜む。示されてみると意外とアッサリ行くものですね。いつもながら脱帽です。私は，
1−x^2/2＜cos(x)
からうまく評価できないかと，いろいろいじったのですが，行き詰まっていました。
No.63104 - 2020/01/17(Fri) 12:30:56
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Re: 極限計算
/ IT
引用
lim[x→0]log[(cosx)^{1/(xsinx)}]
=lim[x→0]{log(cosx)}/(xsinx)
ロピタルの定理により
=lim[x→0](-sinx/cosx)/(sinx+xcosx)
=lim[x→0]-1/{cosx+(x/sinx)(cosx)^2}
=-1/2 なので
lim[x→0](cosx)^{1/(xsinx)}＝e^(-1/2)
No.63105 - 2020/01/17(Fri) 22:21:50
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Re: 極限計算
/ IT
引用
x=0の近傍では cosx ＞0なので cosx=(1-(sinx)^2)^(1/2)
lim[x→0](cosx)^{1/(xsinx)}
=lim[x→0](1-(sinx)^2)^{1/(2xsinx)}
=lim[x→0](1-(sinx)^2)^{sinx/(2x(sinx)^2}
=lim[x→0][(1-(sinx)^2)^{1/(sinx)^2}]^(sinx/2x)
=(e^-1)^(1/2)
No.63106 - 2020/01/17(Fri) 22:51:55
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Re: 極限計算
/ IT
引用
(cosx)^(1/(xsinx))
=(cosx)^{((1-cosx)/(xsinx))/(1-cosx)}
={(cosx)^(1/(1-cosx))}^{(1-cosx)/(xsinx)}
=[{1-(1-cosx)}^(1/(1-cosx))]^{(1-cosx)/(xsinx)}
として問１、２の結果を使う.
No.63107 - 2020/01/17(Fri) 23:25:10
