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記事No.63246に関するスレッドです
★ (No Subject) / ぴんちゃん
夜遅くにすみません。
問3の答えが出ません。答えを知りたいです。
一応問2まで解いたので(たぶん合ってる)よければ使ってください。
No.63246 - 2020/01/29(Wed) 01:31:32
☆ Re: / ヨッシー
まだ最後まで解いていませんが、
ｎ回目にＡが投げる確率をa[n] としても、
ｎ回目にＢが投げる確率は 1−a[n] ではありません。
すでに勝負が付いている場合があるためです。
よって、(1) もたぶん違っていると思います。
No.63248 - 2020/01/29(Wed) 07:32:38
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ｎ回目にＡがさいころを投げる確率をa[n]
ｎ回目にＢがさいころを投げる確率をb[n]
とします。
　a[1]＝１、b[1]＝０
　a[n+1]＝a[n]/2＋b[n]/3　・・・(i)
　b[n+1]＝a[n]/3＋b[n]/2　・・・(ii)
(i) と (ii) の両辺足して
　a[n+1]＋b[n+1]＝(5/6)(a[n]＋b[n])
a[1]＋b[1]＝1 より
　a[n]＋b[n]＝(5/6)^(n-1)
よって、
　b[n]＝(5/6)^(n-1)−a[n]
(i) に代入して
　a[n+1]＝a[n]/2＋{(5/6)^(n-1)−a[n]}/3
　　　　＝a[n]/6＋(1/3)(5/6)^(n-1)　　・・・(iii)
c[n]＝a[n]＋s(5/6)^n と置き、
　c[n+1]＝(1/6)c[n]
と置けたとすると、
　a[n+1]＋s(5/6)^(n+1)＝(1/6){a[n]＋s(5/6)^n}
整理して
　a[n+1]＝(1/6){a[n]＋s(5/6)^n}−s(5/6)^(n+1)
　　　　＝a[n]/6＋(1/6)s(5/6)^n−s(5/6)(5/6)^n
　　　　＝a[n]/6−(2/3)(5/6)s(5/6)^(n-1)
(iii) と比較して、
　−(2/3)(5/6)s＝1/3
　ｓ＝−3/5
このとき、
　c[1]＝a[1]−(3/5)(5/6)＝1/2
よって、
　c[n]＝(1/2)(1/6)^(n-1)＝3(1/6)^n
　a[n]＝c[n]−s(5/6)^n
　　　＝3(1/6)^n＋(3/5)(5/6)^n　　・・・答え(1)
(2)
　ｎ回目にＡが投げて６が出る確率なので、
　{3(1/6)^n＋(3/5)(5/6)^n}/6
　＝(1/2)(1/6)^n＋(1/10)(5/6)^n　　・・・答え(2)
(3)
(2) の答えを、１からｎまで足すと
　Σ[k=1〜n]{(1/2)(1/6)^k＋(1/10)(5/6)^k}
　　＝(1-1/6^n)/10＋{5−5(5/6)^n)}/10
　　＝3/5−(1/10)(1/6)^n−(1/2)(5/6)^n　・・・答え(3)
No.63249 - 2020/01/29(Wed) 10:13:21