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記事No.63281に関するスレッドです
★ 高校入試問題（西大和学園） / のんこ
答えはわかっているのですが、解き方がわからないので丁寧な解説をお願いします。
No.63281 - 2020/02/01(Sat) 01:57:35
☆ Re: 高校入試問題（西大和学園） / らすかる
nが28^3で割り切れますので、自然数mを用いて
n=28^3×m=(2^2×7)^3×m=2^6×7^3×m
と表せます。
これが28^4=2^8×7^4で割り切れませんので、
mは2^2×7で割り切れません。
n^2=2^12×7^6×m^2=2^6×14^6×m^2ですから、
少なくとも14^6では割り切れ、例えばm=1ならば14^7で割り切れません。
従ってkの最小値は6となります。
mが素因数2を持たないとき、n^2の素因数2の個数は12個なので、
mが7^3で割り切れれば14^12で割り切れますが、14^13では割り切れません。
mが素因数2を1個だけ持つとき、n^2の素因数2の個数は14個なので、
mが7^4で割り切れれば14^14で割り切れますが、14^15では割り切れません。
mが素因数2を2個以上持つときは、mは素因数7を持てませんので
n^2は14^6でしか割り切れません。
従ってkが最大となるのはmが2×7^4の奇倍数のときで、
このときn^2は14^14で割り切れて14^15で割り切れませんので、
kの最大値は14となります。

# kが最小となる具体値の例はn=28^3=21952、
# 最大となる具体値の例はn=28^3×2×7^4=105413504です。
No.63282 - 2020/02/01(Sat) 05:17:29
☆ Re: 高校入試問題（西大和学園） / IT
（少し違う書き方）
nの素因数2の指数をa,7の指数をb とする.
n^2の素因数2の指数は2a,7の指数は2bで,k=min(2a,2b)である.

nが28^3=(2^6)(7^3)で割り切れるので　a≧6かつb≧3
28^4=(2^8)(7^4)で割り切れないので　a＜8またはb＜4

a＜8 のとき
　a=6,7
　b=3,4,5,....
　2a=12,14
　2b=6,8,10,....
　よってｋの最小値は6、最大値は14.

b＜4のとき
　b=3
　a=6,7,8,.....
　2b=6
　2a=12,14,16,...
　よってk=6.

したがって,ｋの最小値は6,最大値は14.
No.63283 - 2020/02/01(Sat) 08:46:14