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記事No.63465に関するスレッドです
★ n次導関数の導出方法 / かるね
画像の(3)を解く際、f(x)のn次導関数を導出したいのですが、導出方法を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.63465 - 2020/02/16(Sun) 19:32:14
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
求めるのは難しいと思います。
そして、(3)を示すためには求める必要はありません。

f(x)のx > 0におけるn階導関数は
ある多項式関数P_nを使って
P_n(1/x) e^(-1/x)
と書けることが（帰納法により）言えます。

あとは任せます。厳密にやると結構長いです。
わからなければ聞いてください。
No.63466 - 2020/02/16(Sun) 20:20:38
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
mさん
ご返信ありがとうございます。
帰納法を使ったn階導関数の導出法がわかりません。
ご教授お願いできないでしょうか。
No.63467 - 2020/02/16(Sun) 20:37:15
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
添え字が多いので画像で。
（ちょっとだけ修正）
No.63468 - 2020/02/16(Sun) 21:10:22
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
ありがとうございます。
ちなみに、P1(x)は
P1(x)=x^2
でよろしいですか？
No.63469 - 2020/02/16(Sun) 21:32:39
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
はい。
No.63471 - 2020/02/16(Sun) 21:41:41
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
了解致しました。

画像のように、n階導関数の極限を使って、c^∞を証明したいのですが、この極限を導出法のご教授お願いできますか。
No.63474 - 2020/02/16(Sun) 23:02:29
☆ Re: n次導関数の導出方法 / m
それはカンタン。
y=1/xと置き換えて、P_nは多項式だから
lim[y to ∞] P_n(y)/e^y = 0
No.63475 - 2020/02/17(Mon) 00:10:05
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
P_n(y)は一定値と考え、y→∞のとき
(P_n)/∞ = 0
という感じで、極限は0になるっていうことですか？

自分の考えでは、P_n(y)はyの関数なので、y→∞のとき
∞/∞
になるのかと考えました。
No.63476 - 2020/02/17(Mon) 00:30:10
☆ Re: n次導関数の導出方法 / らすかる
多項式よりもe^xの方が発散速度が速いので、(多項式)/e^xは0に収束します。

(証明)
(多項式)/e^xの分子の次数がm次のとき、分子分母をx^mで割れば
分子は定数(m次の係数)に収束しますので、分母をx^mで割ったe^x/x^mが
+∞に発散することを示せば十分です。
f(x)=√x-logxとおくとf'(x)=(√x-2)/2xなのでx＞4のときf(x)は増加
f(4)=2-log4=2(1-log2)＞0なのでx≧4でf(x)＞0
よってx≧4で√x＞logxなので
lim[x→∞]x-mlogx＞lim[x→∞]x-m√x=lim[x→∞](√x)(√x-m)=+∞
lim[x→∞]e^(x-mlogx)=+∞
∴lim[x→∞]e^x/x^m=+∞
No.63478 - 2020/02/17(Mon) 05:31:18
☆ Re: n次導関数の導出方法 / かるね
皆さんありがとうございます。
解決しました。
No.63484 - 2020/02/18(Tue) 20:41:33