どうやって考えていいのかよくわかりません。教えてください。お願いします。
白と黒のマス目が交互に並んだ右のような表があります。それぞれのマス目には、次の規則により決められた数が１つずつ書かれています。
規則：第ｍ行第ｎ列のマス目には、第１行から第ｍ行までの間にあり、さらに第１列から第ｎ列までの間にある、黒のマス目の個数を書く。
(1) この表の第９列第10列のマス目に書かれている数を答えなさい。
無理やり書いて数えれば45になると思います。
ただ、考え方がよくわかりません。
(2) ｍ、ｎがともに正の奇数であるとき、この表の第ｍ行第ｎ列のマス目に書かれている数をｍ、ｎの式で表しなさい。
(3) この表には、数”82”が書かれたマス目は全部で何個ありますか。
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No.6347 - 2009/06/18(Thu) 21:52:04
| ☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー  | | | まず、全体的な規則をつかんでおきます。
第ｍ行において、
ｍが奇数のとき、ｋ＝(m-1)/2 となるｋに対して、
マスの数字は
k, (左の数)+(k+1), (左の数)+k, (左の数)+(k+1), (左の数)+k,・・・
のようになります。
ｍが偶数のとき、k=m/2 となるｋに対して
マスの数字は k,2k,3k・・・ となります。
(1)9行10列か、9列10行かわかりませんが、答えは同じなので、
せっかくですから、両方のマスの数字を求めてみます。
9行10列
奇数行なので、ｋ＝(9-1)/2＝4 に対して、マスの数は、
4, 4+5=9, 9+4=13, 13+5=18・・・
のようになりますが、結局は、
4+5+4+5+4+5+4+5+4+5＝(4+5)×5＝45
10行9列
偶数行なので、k=10/2＝5 に対して、9列目は、
5×9＝45
(2)
ｍ行ｎ列 で、ｍ、ｎともに奇数なので、
ｋ＝(m-1)/2 に対して、
ｎ−１列目（偶数)までは、
｛ｋ＋（ｋ＋１）｝が (n-1)/2 回足されて、あと１回ｋが足されて、
ｎ列目の数になります。つまり、
{ｋ＋（ｋ＋１）}×(n-1)/2 ＋ ｋ
＝(2k+1)(n-1)/2 ＋ ｋ
＝m(n-1)/2 ＋ (m-1)/2＝(mn-1)/2
(3)
ｍ行ｎ列 で、ｍが偶数とすると、
k=m/2
に対して、ｎ列目は、ｋｎ＝mn/2 となります。
これは、ｎが偶数の場合も同じです。
以上より、あるマスが、82 になるのは、
(mn-1)/2＝82 または mn/2＝82
となる場合です。
(mn-1)/2＝82 のとき
mn＝165＝3×5×11
より、165 の約数の個数は、2×2×2＝8 (個) より
(m,n) の組み合わせは 8通りあります。
mn/2＝82 のとき
mn＝164＝2×2×41
より、164 の約数の個数は、3×2＝6 (個) より
(m,n) の組み合わせは 6通りあります。
約数の個数および、全ての約数を求める方法については、こちら をご覧ください。
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No.6359 - 2009/06/19(Fri) 09:06:18 |
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