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記事No.63493に関するスレッドです
★ 最大化問題 / かるね
画像のような最大化問題の解き方を教えてほしいです。
No.63485 - 2020/02/18(Tue) 20:44:11
☆ Re: 最大化問題 / m
問題文は正しいですか？
一行目のy_2, ..., y_nに二乗が付いていそうだし、
三行目はその省略の仕方だと
λ_1 > λ_2 * λ_3 * ... * λ_n >0
という意味になってしまいます。
（不等号を省略しているのか、掛け算を省略しているのか、わかりません。）
なんとなく問題設定に違和感があるので聞いてみました。元のであっているなら、あってると教えてください。お手間をおかけします。

あと、学年（学部）等も教えていただけると、何を前提として説明すればいいのか分かって回答しやすいです。
No.63489 - 2020/02/18(Tue) 22:06:57
☆ Re: 最大化問題 / かるね
•y_2,y_nに二重のつけ忘れをしてしまいました。申し訳ございません。
•三行目に関しては、不等号の省略ですね。申し訳ございません。
正しくは
λ1>λ2>•••>λn>0
です。

元々は画像の問題(2)を考える際に、考察した最大化問題です。
学年は情報学部の大学2年です、
よろしくお願いします。
No.63493 - 2020/02/18(Tue) 22:34:56
☆ Re: 最大化問題 / かるね
連投になってすいません。
正しい最大化問題はこのようになります。
No.63494 - 2020/02/18(Tue) 22:46:36
☆ Re: 最大化問題 / m
（添え字をy[1]のように書きます。）

λ[1] > ... > λ[n]とする。

方針は良さそうなので、
Max y[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2
　s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
がλ[1]^2になることを示します。

最大値を求める方法はいくつかありますが、この場合は次の二つを示せばよさそうです。
(1) あるy[1], ..., y[n] s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
　が存在してy[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2 = λ[1]^2

(2) すべてのy[1], ..., y[n] s.t. y[1]^2 + ... + y[n]^2 = 1
　に対してy[1]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2 ≦ λ[1]^2

(1), (2)が言えれば、λ[1]^2が最大値になることが言えます。

証明：
(1)は
y[1] = 1, y[2] = ... = y[n] = 0とおくと成り立ちます。

(2)は
y[1]^2 + y[2]^2 ... + y[n]^2 = 1とする。
各i = 2, ... nにたいして
λ[i] < λ[1]より
y[i]^2λ[i]^2 ≦ y[i]^2λ[1]^2
が成り立つ。iについて足すと
y[1]^2λ[1]^2 + y[2]^2λ[2]^2 + ... + y[n]^2λ[n]^2
≦ y[1]^2λ[1]^2 + y[2]^2λ[1]^2 + ... + y[n]^2λ[1]^2
　= (y[1]^2 + y[2]^2 ... + y[n]^2)λ[1]^2
　= λ[1]^2
となり言えました。
No.63495 - 2020/02/18(Tue) 23:03:55
☆ Re: 最大化問題 / かるね
ありがとうございます。
一点気になることがあります。

λ[i] < λ[1]より
y[i]^2λ[i]^2 ≦ y[i]^2λ[1]^2

上のように、<から≦に変化する理由を教えていただきたいです。
No.63497 - 2020/02/18(Tue) 23:42:36
☆ Re: 最大化問題 / m
y[i]^2>0のときは"<"でいいのですが、
y[i]^2=0のときは両辺とも0となって"="となるからです。
No.63499 - 2020/02/19(Wed) 00:16:37
☆ Re: 最大化問題 / かるね
ありがとうございました！
No.63500 - 2020/02/19(Wed) 00:19:58