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記事No.63530に関するスレッドです
★ 行列の多項式 / かるね
(3)の解き方についてどなたかご教授頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.63530 - 2020/02/21(Fri) 01:47:36
☆ Re: 行列の多項式 / ast
(2) で固有多項式 (に A を代入して O になる事実) が出てきているので, 固有多項式を φ(x) と書くことにすれば, g として f を φ で割った余りがとれるのでは?

# h(A)=O となる低次の h(x) があれば, その h を使って f の次数を下げればよい, という話なので固有多項式に拘る必要があるわけではありません.
No.63531 - 2020/02/21(Fri) 14:46:50
☆ Re: 行列の多項式 / かるね
ありがとうございます。その場合、題意のf(A)≠Oという条件はどう絡んでくるのでしょうか。
No.63533 - 2020/02/21(Fri) 23:02:44
☆ Re: 行列の多項式 / ast
別に無理に絡める必要ないのでは…?
# f(A)=O なら自明な g(x)=0 をとればよいので, f(A)=Oの場合を除かなくても話は成立すると思います.
# まあ多項式としての0の次数について言及を避けたいということかもしれませんが.
No.63536 - 2020/02/21(Fri) 23:31:51
☆ Re: 行列の多項式 / かるね
ありがとうございます。

ちなみに、f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
はなぜ成り立つのでしょうか。

お手数をおかけしますが、また返信頂けますと助かります。
No.63568 - 2020/02/22(Sat) 18:08:51
☆ Re: 行列の多項式 / ast
> f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
> はなぜ成り立つのでしょうか。

そこまで強い主張は問題の解答に必要ないですし, さすがにそんな都合よく割った商 Q(x) が Q(x)=1 になったりしないと思いますが……,

　f(x) = Q(x)φ(x) + g(x) 　 (deg(g) < n=deg(φ))
のとき
　f(A) = Q(A)O + g(A) = g(A)

ではどこか足りないとお考えでしょうか……?
No.63569 - 2020/02/22(Sat) 18:30:10
☆ Re: 行列の多項式 / かるね
申し訳ございません。
誤:　f=φ(x)+g, φ(x):固有多項式
正: f(x)=Q(x)φ(x)+g(x), φ(x):固有多項式，Q(x):商
正の式が何故成り立つかお聞きしたかったですが、解決しました。

要は、φ(x)の次数よりQ(x)とg(x)の次数は低くく、
x=Aに代入することで、Q(A)=0となって、f(x)=g(x)が成り立つということですよね。

ありがとうございました。
No.63570 - 2020/02/22(Sat) 19:42:17
☆ Re: 行列の多項式 / ast
解決されたとのことなので必要ないとは思いますが多少の補足を.

> 正の式が何故成り立つか
これは既に書いた通り割り算をしてという話なので, なぜ成り立つかではなくて成り立つような多項式の組 Q, g をとったというべきです. それがなぜ存在するかは (それが f, φ に対してちょうど一通りに決まることと合わせて) 高校数学で履修したはずと思いますので, もしまだあやふやにおもわれるのでしたら多項式の割り算について復習されるとよいでしょう.

後は細かい点ですが (まあ, 多くは単純な打ち間違いだろうとは思いますが)
> φ(x)の次数よりQ(x)とg(x)の次数は低くく、
これも割り算の話ですが, Q の次数は φ の次数より低いとは限りません. 実際, f の次数 m が 2n より大きければ Q の次数は φ の次数より高いです. また Q について
> x=Aに代入することで、Q(A)=0となって
は成り立つとは限りませんし, x=A を代入した Q(A) がどんな行列でもこの話には寄与しません. 重要なのは φ(A)=O という (2) の結果だけです.

念のため書いておきますが, ここで (A の) 固有多項式 φ と言っているものは, (2) に出てきた行列 (A-α[1]E)…(A-α[n]E) に (3) の設定で対応する多項式です. つまり φ(x) := (x-α[1])…(x-α[n]); もちろん φ(A) = (A-α[1]E)…(A-α[n]E) = O ((2) の結果) です.
# 言うまでもなく, この意味での固有多項式 φ(x) は線型代数学で通常いう意味での行列 A の固有多項式に他なりません (それは (1) の形に帰着できることから容易に確認できると思います) が, (2) の結果を使うだけならべつに φ が何者かを知る必要はないともいえるでしょう.

> f(x)=g(x)が成り立つ
成り立つのは正しくは f(A)=g(A) ですね. m=deg(f) > n が仮定ですから f(x)≠g(x) という前提で考えていることになります.
No.63580 - 2020/02/23(Sun) 19:26:37