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記事No.6358に関するスレッドです
★ 漸化式 / マルス
平面上に点A_0(0,1)、A_1(1,1)、A_2(2,1)、…、A_n(n,1)およびB_0(0,0)、B_1(1,0)、B_2(2,0)、…、B_n(n,0)が並んでいる。点PはA_0から出発し、次の規則に従いこれらの点の上を移動する。
PがA_nにいるときには1秒後にA_(n+1)またはB_nに、一方B_nにいるときにはB_(n+1)またはA_nに移動する。ただし、前にいた点には戻らない。
PがA_nへ到る行き方がa_n通り、B_nへ到る行き方がb_n通りあるとする。
a_nとb_nを求めなさい。

A_(n+1)へはA_nまたはB_(n+1)からやってくるので、a_(n+1)=a_n+b_(n+1)、B_(n+1)へはA_(n+1)またはB_nからやってくるので、b_(n+1)=a_(n+1)+b_nとなると思ったんですが、どうもこれだとおかしいことになってしまいます。どこがどうして間違えているんでしょうか。全然わからないので教えてください。それと正しい解き方も教えてください。お願いします。
No.6300 - 2009/06/14(Sun) 18:53:36
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
>ただし、前にいた点には戻らない。
が、考慮されていません。

同じ a_n でも、A_(n-1)から来たものは、B_n に行けますが、
B_n から来たものは、戻れません。

A_(n-1) にある点は、無条件で、A_n に行けます。
B_n にある点は、B_(n-1) から来たものだけ、A_n に行けます。
これを踏まえると、
　a_n＝a_(n-1)＋b_(n-1)
同様に
　b_n＝a_(n-1)＋b_(n-1)
となります。a_0＝b_0＝１　より、
常に a_n＝b_n が成り立ち、
　a_n＝a_(n-1)＋a_(n-1)＝2a_(n-1)
として差し支えありません。これは、公比２の等比数列の
漸化式なので、
　a_n＝b_n＝２n
No.6307 - 2009/06/14(Sun) 22:30:42
☆ Re: 漸化式 / マルス
お答えありがとうございました。返事が遅くなってしまって大変失礼しました。
回答を参考にず〜っと考えていたのですがどうしてもまだ納得できないです。

＞>ただし、前にいた点には戻らない。
が、考慮されていません。
ここがどういう状況のことをおっしゃられているのかわからないです。
A_(n+1)にはA_nまたはB_(n+1)からしかくることができないですよね。それなのにa_(n+1)=a_n+b_(n+1)一個前に戻る場合が含まれているんでしょうか？

＞A_(n-1) にある点は、無条件で、A_n に行けます。
B_n にある点は、B_(n-1) から来たものだけ、A_n に行けます。
前半はわかるのですが、後半はB_(n-1)からは次にA_nかB_nのどちらかに行くかで、２通りの場合が出てきてしまいませんか？とするとa_n＝a_(n-1)＋2b_(n-1)になりませんか。

もう一度教えてもらえないでしょうか。お願いします。
No.6350 - 2009/06/18(Thu) 23:34:34
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
図のような関係になります。

ここで、
　a_n＝a_(n-1)＋{b_n の一部}
　b_n＝b_(n-1)＋{a_n の一部}
になるわけですが、a_n の中の、a_(n-1) は {a_n の一部} となって、
B_(n+1) に行けますが、{b_n の一部}として、B_n から来た
ものは、再度 B_n に戻ることは出来ないのです。
つまり、{a_n の一部} とは、a_(n-1) に等しく、同様に
{b_n の一部} とは、b_(n-1) に等しいのです。
よって、上の漸化式は、
　a_n＝a_(n-1)＋{b_n の一部}＝a_(n-1)＋b_(n-1)
　b_n＝b_(n-1)＋{a_n の一部}＝b_(n-1)＋a_(n-1)
と書けます。
No.6358 - 2009/06/19(Fri) 08:34:53
☆ Re: 漸化式 / マルス
なるほど、勘違いしていました。よくわかりました。
ありがとうございました。
No.6360 - 2009/06/19(Fri) 22:50:22