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記事No.63774に関するスレッドです
★
極限
/ なつ
引用
昨年の東大実戦模試の問題です。
(2)までなんとなくしか出来ていません。
解説頂けると嬉しいです。
No.63774 - 2020/03/11(Wed) 04:27:56
☆
Re: 極限
/ X
引用
(1)
前半)
C[n]に内接する正3・2^n角形を
頂角π/{3・2^(n-1)}
2辺の長さr[n]
である3・2^n個の二等辺三角形に
分割します。
すると条件からこの二等辺三角形の
頂角に対応する頂点から対辺に
下した垂線の長さがr[n+1]と
なるので
r[n+1]=r[n]cos{(1/2)π/{3・2^(n-1)}}
=r[n]cos{π/(3・2^n)}
後半)
前半の結果の両辺に
sin{π/(3・2^n)}
をかけると
r[n+1]sin{π/(3・2^n)}=r[n]cos{π/(3・2^n)}sin{π/(3・2^n)}
∴二倍角の公式により
r[n+1]sin{π/(3・2^n)}=(1/2)r[n]sin{π/{3・2^(n-1)}} (A)
よって
r[n]sin{π/{3・2^(n-1)}}=a[n]
と置くと(A)は
a[n+1]=(1/2)a[n]
∴a[n]=a[1](1/2)^(n-1)
=r[1]{sin(π/3)}(1/2)^(n-1)
=(√3)(1/2)^n
となるので
r[n]sin{π/{3・2^(n-1)}}=(√3)(1/2)^n
(2)
(1)の結果から
r[n]={(√3)(1/2)^n}/sin{π/{3・2^(n-1)}} (B)
={{(√3)(1/2)^n}/{π/{3・2^(n-1)}}}・{π/{3・2^(n-1)}}/sin{π/{3・2^(n-1)}}
={{(3√3)/(2π)}・{π/{3・2^(n-1)}}/sin{π/{3・2^(n-1)}}
∴(与式)=(3√3)/(2π)
(3)
まともに計算するとかなり煩雑になるので
工夫をします。
(B)から
S[n]=πr[n]^2
S[n+1]=πr[n+1]^2
=π{(1/2)r[n]sin{π/{3・2^(n-1)}}/sin{π/(3・2^n)}}^2
=π{r[n]cos{π/(3・2^n)}}^2 (∵)二倍角の公式
∴S[n]-S[n+1]={πr[n]^2}{1-{cos{π/(3・2^n)}}^2}
={πr[n]^2}{sin{π/(3・2^n)}}^2
となるので、問題の数列の一般項をb[n]とすると
b[n]={2^(np)}{πr[n]^2}{sin{π/(3・2^n)}}^2
={2^(np)}[{π/(3・2^n)}}^2]{πr[n]^2}{{sin{π/(3・2^n)}}/{π/(3・2^n)}}^2
={2^{(p-2)n}}(π/9){πr[n]^2}{{sin{π/(3・2^n)}}/{π/(3・2^n)}}^2
∴(2)の結果から、題意を満たすためには
lim[n→∞]2^{(p-2)n}=(正の有限値)
とならなければならないので
p-2=0
よって
p=2
No.63781 - 2020/03/11(Wed) 18:55:56
☆
Re: 極限
/ なつ
引用
理解できました！
ありがとうございます！
No.63785 - 2020/03/11(Wed) 22:57:52
