この漸化式の解き方の方針がわかりません。項が2の倍数なので幾つか求めてみましたが、3項ごとに７で割り切れる事と
lim(i->無限) L(i) - L(i-1) = 4 ってことしか分かりませんでした。何か良い解き方の手順ってありませんか？
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No.63859 - 2020/03/17(Tue) 06:13:46
| ☆ Re: 漸化式 / m | | | // 添字を a[n] で表します
結局、4項間漸化式
a[n+3] = 7a[n+2] - 14a[n+1] + 8a[n],
a[0]=L[1]=1, a[1]=L[2]=7, a[2]=L[4]=35
を解けばいいです。
特性方程式 t^3-7t^2+14t-8 = 0 を解くと、t=1, 2, 4 となるので
a[n]は1, 2^n, 4^nの線形結合でかけます。（∵下の★）
a[n] = α + β2^n + γ4^n
とおいて、n=0, 1, 2で連立してとけば
α = 1/3
β = -2
γ = 8/3
となってa[n]が求まります。
整理すれば
a[n] = (1/3) (4*(2^n)-1)(2*(2^n)-1)
k=n-1とすればITさんの結果と一致します。
（わざわざずらしたのは、0から始めたほうが計算がラクだから）
★
4項漸化式の特性方程式の複素数解a, b, cが互いに異なるとき、
数列の一般項はa^n, b^n, c^nの線形結合でかけます。
証明は行列の固有値と対角化から。（もし、気になるなら、聞いてください）
また、重解を持つときはこのやり方ではできません。
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No.63863 - 2020/03/17(Tue) 09:49:58 |
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