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記事No.63901に関するスレッドです
★ (No Subject) / め
代数的に言われる「対称性」とは結局はなんなのでしょう？三角形の辺abcにて、
a²(a²+c²)=b²(b²+c²)が成り立つ時、「対称的「だから」」a=bだと速攻で断定できると言う人がいたのですが、私は「だから」の部分が一切理解できません。
それを言うならば、x+y=y+xという式は、対称的「だから」x=yなのですか？一切意味が分かりません。

あと、対称式についても、x²+y²という式は、xとyが「対称的」だから、基本対称式x+yと、xyで表せるとは言いますが、だからなんなのかといつも考えてしまいます。

感覚的には、前者の例で言われる「対称」と、後者の対称式の例で言われる「対称」では、違う意味が込められている気がします。
No.63895 - 2020/03/19(Thu) 14:40:31
☆ Re: / め
前者の例で言われる「対称」が以下の画像の説明にて使われている様な気がするのですが、同じ様な考えなのでしょうか？

式Cを対称化して得られた式Lは、xとx0、そしてyとy0が対称的だから「対称化した」と言い、x=x0 y=y0も成り立ってると思うのですが…
No.63896 - 2020/03/19(Thu) 14:44:35
☆ Re: / め
グラフなどで使われる「対称」であれば、例えばf(x)=f(-x)ならy軸対称、f(x)=-f(-x)なら原点対称、そして、f(x)とf(2a-x)は、x=aに関して対称。
また、g(x y)にて、g(x y)=g(x -y)ならx軸対称、g(x y)=g(y x)なら、g(x y)はy=xというグラフに関して対称、など、グラフ的に言われる「対称」は意識できるのですが、代数的に言われる対称は、正直全くイメージ出来ません。
No.63897 - 2020/03/19(Thu) 14:53:33
☆ Re: / め
もう少し簡潔な質問としますと、「xとyが対称だからx=y」という使われ方が出来る「対称」という日本語と、
そういった使い方の出来ない「対称」と言う日本語の、2種類の「対称」という言葉がある気がするのですが、どうなのでしょう…？
No.63898 - 2020/03/19(Thu) 15:01:29
☆ Re: / らすかる
前者も後者と同様に「文字を入れ替えても全く同じ式になる」という意味で
「対称的」と言っているのだと思いますが、
前者は
f(x)=x^2(x^2+c^2)とすれば左辺はf(a)、右辺はf(b)で式の形が同じである等式
という意味、後者は
複数文字間の入れ替えによって変わらない式
という意味ですから、意味合いは少し違いますね。
※前者は、普通「対称的」とは言わないと思います。

もちろん、前者は「対称的だから」という理由だけではa=bにはなりませんが、
左辺はf(a)、右辺はf(b)でありf(x)が(x≧0として)狭義増加関数であることも
考慮に入れれば、a=bと言えますね。
No.63899 - 2020/03/19(Thu) 15:02:08
☆ Re: / め
ありがとうございます。前者はf(a)-f(b)=0と左辺に集めると、この左辺は交代式ではありませんでしょうか？
No.63900 - 2020/03/19(Thu) 16:26:45
☆ Re: / め
対称式よりかは、むしろ↓の考え方な気がしてきました…
No.63901 - 2020/03/19(Thu) 16:33:04
☆ Re: / らすかる
f(a)-f(b)=0とすれば交代式にはなりますが、
交代式だからといってa=bが言えるわけではありません。
わかるのはa=bが解の一つということだけです。
ですから「f(a)=f(b)からa=b」が言えるためには、
上に書いたように狭義増加関数(または狭義減少関数)である必要があります。

# 厳密には、「狭義増加関数(または狭義減少関数)」ではなく
# 「単射の関数(逆関数を持つ関数)」です。
No.63903 - 2020/03/19(Thu) 19:21:59
☆ Re: / め
ありがとうございます。よくよく考えてみましたがno63896は的外れな質問でしたね…失礼しました、単射の写像とは「f(x)=f(y)ならばx=y」という命題を真にする時の写像のことだという認識で行きますが、、、単射の関数が逆関数を持つという所に疑問を感じるのですが、全単射でなければf(x)の値域が終域(全実数)そのものとならないため逆関数は存在しなくないでしょうか…？
No.63904 - 2020/03/19(Thu) 19:43:13
☆ Re: / らすかる
全射でなければ、逆関数の定義域が実数全体にならないだけで、逆関数は存在します。
例えばy=e^xの逆関数はy=logx(定義域はx＞0)ですね。
No.63905 - 2020/03/19(Thu) 21:12:50
☆ Re: / め
ありがとうございます。例えばなのですが、y=1/xでは、x≠0より、yはxの関数でない、とどこかでみたのですが、「xの関数である」為には、xは実数全体で定義されなければいけないということなのではないのでしょうか？
No.63906 - 2020/03/19(Thu) 21:27:31
☆ Re: / らすかる
そんなことはありません。定義域は自由です。
y=√xやy=logxやy=tanxを関数ではないと思っているのなら、それは大間違いです。
例えばy=√(2-x)+√(x-2)は定義域がx=2だけですが、これでも関数です。
No.63908 - 2020/03/19(Thu) 22:11:35
☆ Re: / め
ありがとうございます！理解しました！
No.63909 - 2020/03/20(Fri) 06:03:26