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記事No.64219に関するスレッドです
★ 球面上の円の重なっている部分の面積 / あ
下記教えていただきたいです。
半径Rの球面上に半径r1、半径r2の円があり、球の中心からそれぞれの円の中心に線を下ろしたときの角度をθとするとき、それぞれの円の重なっている部分の（球面上の）面積S。
※それぞれの円は2点で交わっているとする。
No.64176 - 2020/04/07(Tue) 15:40:50
☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓
（回答ではありません）
左図の着色部の面積が求められ（定式化され）ればこの先なんとかなるのでしょうが，これって簡単ではないでしょう！
平面上の２円の交わりに関する超有名問題の右図の面積も，難問の部類ですから…
No.64219 - 2020/04/08(Wed) 11:36:23
☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / らすかる
（回答ではありませんが回答に若干近いです）
関数電卓さんの図に従って具体例で計算してみると、例えば
球面：x^2+y^2+z^2=1
小円：平面z=3/5で切ったとして x^2+y^2=16/25,z=3/5
大円：平面x=zで切ったとして 2x^2+y^2=1,z=x
とした場合
平面 xsinα=ycosα で切ると
小円との交点(の一つ)は (4cosα/5,4sinα/5,3/5)
大円との交点(の一つ)は
(cosα/√{(cosα)^2+1},sinα/√{(cosα)^2+1},cosα/√{(cosα)^2+1})
小円と大円が交わる時のαの値は
cosα/√{(cosα)^2+1}=3/5を解いてcosα=±3/4
求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので
2∫[0〜arccos(3/4)]cosα/√{(cosα)^2+1}-3/5 dα
=2∫[0〜arccos(3/4)]cosα/√{2-(sinα)^2}-3/5 dα
=2∫[0〜√7/4]1/√(2-t^2)-3/5 dt　（sinα=tとおいた）
=2[arcsin(t/√2)-3t/5][0〜√7/4]
=2arcsin(√14/8)-3√7/10
関数電卓さんの右の図も逆三角関数が出てくる答えなので、
少なくとも同レベルの難しさはありますね。
しかも元の問題は各パラメータが変数ですから、
同じように答えが出せるかどうかはわかりません。
No.64221 - 2020/04/08(Wed) 16:11:06
☆ Re: 球面上の円の重なっている部分の面積 / 関数電卓
> 求める面積は球に外接する円筒に投影した領域の面積なので
これ，巧みですね！ いつもながら脱帽です。
No.64222 - 2020/04/08(Wed) 17:38:04