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記事No.64371に関するスレッドです
★ 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
a bを実数とするとき、画像の同値変形は成立するのでしょうか？
No.64371 - 2020/04/16(Thu) 21:22:22
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
二つの方程式の連立方程式や、2つの不等式の連立不等式の同値変形ならわかるのですが、片方が等式でもう片方が不等式となる本題の様な場合、どのように同値変形すれば良いのかがわかりません…
No.64372 - 2020/04/16(Thu) 21:25:53
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / IT
左右ともに　「真」　ですから、左右は同値だと思います。

もとの問題はどう書いてありますか？
No.64373 - 2020/04/16(Thu) 21:48:44
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。↓の画像の(1)です。よくよくみて見たら「連立」ではない気がしてきました…
No.64374 - 2020/04/16(Thu) 22:08:32
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / IT
ご質問の右の不等式を証明して、a+b=1 を代入すると左の不等式が証明できます。（左は右の特別な場合）

b=1-a をa^2+b^2-1/2 に代入して、a^2+b^2≧1/2 を示す方法もあります。
No.64375 - 2020/04/16(Thu) 22:27:36
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。
かなり遠回りして、両辺を斉次化して証明して見たのですが、この方法は使えるのでしょうか？
No.64376 - 2020/04/16(Thu) 22:51:32
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / らすかる
a/bは-1になりませんので、全実数を表していません。
No.64377 - 2020/04/16(Thu) 23:04:49
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。
https://examist.jp/mathematics/tahensu-maxmin/doujisiki2/　
を参考に「比の置換」をして見たのですが、この操作ができるのは、「比」が「全ての実数」を表せる時のみという認識は正しいでしょうか？
要するに、例えばリンク先の1番上の(1)では、4x²-8xy+10y²=1のとき、x/yが全実数を表せるから、この比をtと置換し、tの存在条件でkの範囲を考えているという事であっているでしょうか？
No.64379 - 2020/04/16(Thu) 23:20:46
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
今気付いたのですが、先ほどの画像で、2行目の不等式に式変形した時点で、以降はaとbがそれぞれが独立して任意の実数値を取るものとしてもよくないですか？
No.64380 - 2020/04/16(Thu) 23:39:50
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / らすかる
> この操作ができるのは、「比」が「全ての実数」を表せる時のみという認識は正しいでしょうか？
正しくないと思います。
表される範囲が限定されていても、それに注意して解き進めれば特に問題ありません。

> 今気付いたのですが、先ほどの画像で、2行目の不等式に式変形した時点で、
> 以降はaとbがそれぞれが独立して任意の実数値を取るものとしてもよくないですか？
同値ではなくするということですね？
それは別に構いませんが、そのことがわかるように文を入れる必要がありますね。

でも、最終的にt^2+1≧(t^2+2t+1)/2を(t-1)^2≧0と変形して示すなら
a^2+b^2≧(a^2+2ab+b^2)/2を(a-b)^2≧0に変形した方が素直で良いと思います。
No.64382 - 2020/04/17(Fri) 01:06:14
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます。
>>同値ではなくするということですね？
というのはどういうことでしょうか？

「a+b=1の時a²+b²≧1/2が成立する」と、「任意の実数aとbにてa²+b²≧(a+b)²/2が成立する」は同値ではないのですか？
No.64383 - 2020/04/17(Fri) 01:41:36
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / らすかる
証明した後では両方とも真なので同値ですが、
証明する前には同値かどうかがわかっておらず、
一般に「a+b=1のときf(a,b)=0が成立する」と
「任意の実数a,bについてf(a,b)=0が成立する」
は同値ではありませんので、証明中では
同値でない変形をしていることになります。
No.64384 - 2020/04/17(Fri) 01:54:21
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / 黄桃
議論がかみ合ってないように感じるので、ちょっと失礼します。
64376　に対するコメントです。

a+b=1 の場合に帰着したい、つまり、a+b で標準化（a,bを割る）したい、のですから、
a+b=0 の場合と a+b≠0 の場合　で場合分けしなければなりません。

a+b=0 であれば、左辺は0以上で、右辺(a+b)^2/2=0 だからOK。
そうでなければ A=a/(a+b), B=b/(a+b) とおけば、A+B=1　であり、示すべき不等式は
A^2+B^2≧1/2 となるから、結局
すべての実数A,Bについて、A+B=1の時A^2+B^2≧1/2を示せばよい、
となります。
No.64385 - 2020/04/17(Fri) 11:07:53
☆ Re: 等式の条件付き不等式の同値変形 / マ√
ありがとうございます、よく読んでみましたが、ようやく理解出来ました！
No.64391 - 2020/04/17(Fri) 18:28:26