[ 掲示板に戻る ]
記事No.64407に関するスレッドです
★ 命題の同値性について。 / マ√
命題同士の同値性、必要性、十分性の関係性が分かりません。
条件同士、であれば、真理集合の包含関係で考えられますが、命題同士であれば、考え方がわかりません。

画像にて、命題pが偽、命題qが真の時、なぜか、
p⇨qが真、とされており、

「「命題pが偽の時、命題qが真」という命題が真である」

と、日本語にして見ても全く意味がわかりません。
どう考えるのでしょうか？
No.64406 - 2020/04/18(Sat) 18:21:55
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
簡単な例を考えて見たのですが、やはり意味不明です
No.64407 - 2020/04/18(Sat) 18:23:10
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
よくある日本語的解釈の例
命題P：雨が降る
命題Q：傘を持っていく
P⇒Q：「雨が降るならば、傘を持っていく」
雨が降り、傘を持っていく→P⇒Qに従っているので真
雨が降り、傘を持っていかない→P⇒Qに反しているので偽
雨が降らず、傘を持っていく
雨が降らず、傘を持っていかない
→P⇒Qは雨が降る場合のことだけを言っているので、
　雨が降らないときは傘を持っていこうがいくまいが、
　P⇒Qには反していないのでP⇒Qは真
よってP⇒Qが偽になるのはPが真でQが偽である場合のみなので、
Pが偽でQが真である場合は真。

「論理包含」で検索するとこれについての説明がいろいろ
見つかりますので、検索してみてはいかがでしょうか。
No.64409 - 2020/04/18(Sat) 18:55:38
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます。色々調べて見たのですが、「雨が降る」や「傘を持っていく」は、命題ではなく「条件」ではないのでしょうか…？
それぞれ、実際に雨が降ってれば真。実際は降ってなければ偽。
実際に傘を持っていけば真。実際は持っていかなかったなら偽。などと、実際の状況になって見ないと真偽の判定が出来ないように感じるので「条件」だと思ってしまうのですが…
No.64410 - 2020/04/18(Sat) 19:57:26
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
「条件」と「命題」をどう区別されているかわからないのですが、
「x=1ならばx^2=1」の「x=1」は命題ですか、条件ですか？
まあどちらにしても、私の例ではあまり納得されていないようですので、
他のサイトで調べられてはいかがでしょうか。
私にはそれ以上にわかりやすく説明できそうにありません。
No.64411 - 2020/04/18(Sat) 21:57:27
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます。もう少し調べて見ます。
ちなみに「x=1」は、実際にxの値を1と決めれば真と判断され、xの値を-100などと決めれば偽と判断される。即ち、自由変数xに具体値を代入しないと真偽の判定が出来ない為、、「
x=1」は条件だと考えています。
No.64413 - 2020/04/18(Sat) 22:06:31
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
少し考えてみたのですが、こういうのはどうでしょう。
命題P：外出時マスクをするならば、コロナが予防できる
命題Q：外出するならば、マスクをする
もしマスクがコロナ予防にならないとしても、外出時にマスクをするのはOKですから
命題Pが偽で命題Qが真のときもP⇒Qは真になります。
つまり「P⇒Q」はPが成立する場合のことだけを言っていて
Pが成立しない場合は「P⇒Q」と関係ありませんので真になるということです。
上の例も同じで、
「y=1ならばy=-1」⇒「x=1ならばx=1」
というのは
「y=1ならばy=-1」がもし成り立つのならば「x=1ならばx=1」も成り立たなければいけない
ということで、「y=1ならばy=-1」は成り立たないので「x=1ならばx=1」は関係なく
真ということです。
No.64415 - 2020/04/19(Sun) 00:41:29
☆ Re: 命題の同値性について。 / IT
マ√さんは、「命題」、「条件」について、高校数学１の教科書の記述に基づいておられるようですので、数研出版「高等学校　数学１」の命題と条件を引用してみます。

「命題」
　一般に、正しいか正しくないか定まる文や式を"命題"という。また、
命題が正しいとき、その命題は"真"であるといい、正しくないとき、
その命題は"偽"であるという。

「条件」
　命題の中には、「どんな実数ｘについてもｘ^2≧0である」のように
文字を含むものもある。
　一方、文字ｘを含む文や式でも、「ｘは素数である」、「ｘ≧2」などは、
ｘに値を代入しないと正しいか正しくないかが定まらないから、命題ではない。
しかし、たとえばｘを自然数全体の集合Uの要素と指定し、ｘに1,2,3などを代入すると、
代入した文や式はそれぞれが真偽の定まる命題になる。
　このような文字ｘを含んだ文や式を、ｘに関する"条件"という。
　条件を考える場合には、条件に含まれる文字がどんな集合の要素かをはっきりさせておく。この集合を、その条件の"全体集合"という。
　
したがって、
らすかるさんが例にあげられた
命題P：外出時マスクをするならば、コロナが予防できる
命題Q：外出するならば、マスクをする
は、これだけでは、真偽が定まらないので、この教科書のいう"命題"にはなってないようです。
No.64420 - 2020/04/19(Sun) 01:53:05
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます。
例えば、命題R「P⇨Q」があるとき、Rの真偽は別として、Rが意味するのは
「Pが真ならば、Qは自動で真にされる」というもので、、
この時、Pが本当に真だったなら、Qの真偽でRの真偽が決まる。
そもそものPが偽なら、Rの真偽は不定？の様な感じだが、無条件で真とすると都合がいい。こんな感じでしょうか？
「P⇨Q」という命題では、そもそものPが偽の場合については一切言及してない感じがします…

>IT様　ありがとうございます。やはりそうですよね、
No.64421 - 2020/04/19(Sun) 01:58:55
☆ Re: 命題の同値性について。 / らすかる
> そもそものPが偽なら、Rの真偽は不定？の様な感じだが、無条件で真とすると都合がいい。こんな感じでしょうか？
>「P⇒Q」という命題では、そもそものPが偽の場合については一切言及してない感じがします…

命題は「反例がなければ真」です。
例えば「現在火星に住んでいる人間は全員50歳以上である」は真ですね。
ですからPが成り立たなければ「Pが成り立っているのにQが成り立たない」という
反例がありませんので、真となります。
No.64422 - 2020/04/19(Sun) 02:35:57
☆ Re: 命題の同値性について。 / マ√
ありがとうございます、
>命題は反例がなければ真　
なるほど、、これは理解しやすいです…！
長くなり申し訳ないです、お二方ありがとうございました！
No.64423 - 2020/04/19(Sun) 02:41:25