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記事No.64509に関するスレッドです
★ 三角関数と軌跡 / どらやき
問題
座標平面上に3点A(1,0) P(cosS,sinT) Q(cosT,sinT) をとる。3点A,P,Qが三角形をなすとき、△APQの重心をGとする。SとTがS-T=π/2, 0＜T＜2π/3を満たしながら動く時のGの軌跡を求め、図示せよ。

マーカー部分(添付ファイルの解答)の式変形が分かりません。教えてください。
No.64509 - 2020/04/22(Wed) 10:47:58
☆ Re: 三角関数と軌跡 / ヨッシー
?@ より
　ｘ＝1/3＋(1/3)(cosｔ−sinｔ)
ですが、cosｔ−sinｔ を合成の公式のcos版で変形すると
　cosｔ−sinｔ＝√2{(1/√2)cosｔ−(1/√2)sinｔ}
　　＝√2{cos(π/4)cosｔ−sin(π/4)sinｔ}
　　＝√2cos(ｔ＋π/4)
となります。
合成の公式と言っていますが、ほぼ加法定理です。
No.64510 - 2020/04/22(Wed) 11:03:52
☆ Re: 三角関数と軌跡 / どらやき
ありがとうございます！

1つお聞きしたいのですが、通常のsinの合成と、今回のcosの合成は方法にどのような違いがあるのでしょうか。
教えてください。
No.64550 - 2020/04/23(Thu) 12:11:53
☆ Re: 三角関数と軌跡 / ヨッシー
違いは、cos に変えたいか、sin に変えたいかですが、
別に、cos の方は公式として覚えなくても出来ます。

教科書では、大抵sinの方が公式として載っていますね。
それは、sin と cos はお互い関連のある関数なので
（例えば　sin(π/2−θ)＝cosθ のように）
sin だけ覚えておけば十分だからです。

本問も
　cosｔ−sinｔ＝√2sin(ｔ＋3π/4)
とした上で、
　sin(ｔ＋3π/2)＝cos(π/2−3π/4−ｔ)
　　　＝cos(−π/4−t）＝cos(t＋π/4)
のように変形できます。

さて、合成の公式の基になるのは、加法定理です。
　sin(ｘ＋ｙ)＝sinｘcosｙ＋cosｘsinｙ
のcosｙ, sinｙ に当たる部分が数値で与えられているとき
ｙを求めて、sin(x＋y) に変形するものです。
数値部分が、sin cos の関係(sin^2θ＋cos^2θ＝1) を満たさないときは、
適当な数で割って（割った分全体に掛けて）sin cos の要件を満たすようにします。
ですので、
　cos(x＋y)＝cosｘcosｙ−sinｘsinｙ　や
　sin(ｘ−ｙ)＝sinｘcosｙ−cosｘsinｙ
からも合成の公式を作ることが出来ます。
No.64552 - 2020/04/23(Thu) 12:34:04
☆ Re: 三角関数と軌跡 / どらやき
分かりました！詳しく教えて下さりありがとうございます！
No.64585 - 2020/04/24(Fri) 15:14:25