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記事No.64520に関するスレッドです
★ (No Subject) / しの
重積分の質問なのです
x=rcost y=rsint z=t (0≦r≦1,0≦t≦π/2)
のとき，曲面の表面積を求めたいのです
∬√(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy
で求めようとし，dz/dxなどを求めようとしました
dz/dx=dt/drcost=1/(-rsint)
dz/dy=dt/drsint=1/(rcost)
かなと思ったのですが，どうも計算が合いません
どこがおかしいか指摘していただきたいです
No.64504 - 2020/04/22(Wed) 01:04:36
☆ Re: / GandB
> x=rcost y=rsint z=t (0≦r≦1,0≦t≦π/2)

は円柱螺旋と呼ばれる「空間曲線」であるから「曲面の表面積」は存在しない。
No.64505 - 2020/04/22(Wed) 03:35:09
☆ Re: / s
曲面の表面積は存在するが必要なのは
∂z(x,y)/∂x, ∂z(x,y)/∂y
の情報なのでそう単純じゃない。

直交座標(xy)ではなく極座標(rθ)でパラメトライズされているので、極座標で解くのが自然。

https://home.hiroshima-u.ac.jp/kyoshida/iam/2016(2ndSemester)/week09(surface_area).pdf
No.64506 - 2020/04/22(Wed) 05:09:27
☆ Re: / 関数電卓
> 極座標で解くのが自然
　r＝(rcosθ,rsinθ,θ)
　∂r/∂r＝(cosθ,sinθ,0)
　∂r/∂θ＝(−rsinθ,rcosθ,1)
　∂r/∂r×∂r/∂θ＝sinθ･i−cosθ･j＋r･k
　|∂r/∂r×∂r/∂θ|＝√(1＋r^2)
求める曲面積 S は
　S＝∫|∂r/∂r×∂r/∂θ|dS＝∫[0,1]∫[0,π/2]√(1＋r^2)rdrdθ＝…＝(2√2−1)π/3
No.64520 - 2020/04/22(Wed) 15:38:32
☆ Re: / しの
極座標で解いたほうが簡単ですねありがとうございます
ちなみになんですが，最初に自分が示したやり方の本質的な間違いは
?@立式(∬√(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy)
?A偏微分(dz/dx=dt/drcost=1/(-rsint)
dz/dy=dt/drsint=1/(rcost))
のどちらでしょうか
No.64523 - 2020/04/22(Wed) 17:13:09
☆ Re: / 関数電卓
> 自分が示したやり方の間違いは?@?Aのどちらでしょうか
両方ともだめです！
曲面の方程式を陽関数 z＝f(x,y) と表したとして，z は x, y の 2 変数関数ですから，面素は
　√(1＋(∂z/∂x)^2＋(∂z/∂y)^2)
です。ちなみに f は，f(x,y)＝tan-1(y/x) です。
私は，この計算をしようとは思いません。
No.64530 - 2020/04/22(Wed) 18:12:31
☆ Re: / しの
よくわかりましたありがとうございます
No.64542 - 2020/04/22(Wed) 21:12:08