| 面積を求めるための曲線が、積分方向に真っすぐに進んでいないからです。
円が大きくなるときは積分方向であるx軸から離れる方向に、小さくなるときは
近づく方向に向かっていますね。これでは正しく積分できません。
真っすぐに進む円柱の側面ならばその方法で積分できますが、
円錐の側面も同じようにやると正しく出ません。
円柱と円錐で「幅Δxぶんの面積」を考えてみてください。
円柱ではΔx進めばそのぶんの面積はΔx×円周ですが、
円錐では斜めになっているぶんΔx×円周より大きくなりますよね。
よってこの「斜めであることによって大きくなるぶん」も式の中に入れれば、
正しく積分できます。
斜めであることによって大きくなる比率はr/√(r^2-x^2)ですから
それを掛けると
∫[-r〜r]2π√(r^2-x^2)・r/√(r^2-x^2)dx
=∫[-r〜r]2πrdx
=4πr^2
のように正しく計算されます。
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No.64697 - 2020/04/28(Tue) 00:43:56 |
