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記事No.64762に関するスレッドです
★ 大学初年度レベルの問題です。 / kafka
すみません、下記、教えてください。

xyz空間内に、原点Oを中心とした半径１の球Sがある。
点A（１、０、０）、点B（０、１、０）、点C（０、０、１）
を通る、平面Lによって球Sを分割する。
小さいほうの立体をDとする。
（１）分割されてできる断面の中で、ｚ座標が最小となる点を求めよ。
（２）立体Dをｚ軸に周りに回転させてできる立体Dの通過する範囲の体積を求めよ。
No.64753 - 2020/04/29(Wed) 15:21:22
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / X
(1)
条件からS,Lの方程式はそれぞれ
x^2+y^2+z^2=1 (A)
x+y+z=1 (B)
(A)かつ(B)が問題の断面の
境界線の方程式です。
さて(B)より
y=1-z-x (B)'
(A)に代入して
x^2+z^2+(1-z-x)^2=1
整理して
x^2+(z-1)x+z^2-z=0 (C)
ここでxは実数ですので
(C)をxの二次方程式と見たときの
解の判別式をDとすると
D=(z-1)^2-4(z^2-z)≧0
これより
-3z^2+2z+1≧0
(3z+1)(z-1)≦0
∴-1/3≦z≦1
∴zの最小値は-1/3
このとき(C)より
x^2-(4/3)x+4/9=0
∴x=2/3
これと(B)'より
y=2/3
∴求める点の座標は
(2/3,2/3,-1/3)

(2)
(1)の結果の点をEとすると
問題のDの通過する範囲は

点Cを始点とする半直線CE
を母線とする円錐の側面
(Uとします)
でSを境界面とする球を
くりぬいたときの
Uの外側の立体

となります。
よって、
Sを境界面とする球と
Uを側面とする円錐
のうち、
平面z=-1/3
より上の部分にある立体
の体積をそれぞれV,W
とすると
(求める体積)=V-W

V,Wの値の計算はそちらでどうぞ。
No.64754 - 2020/04/29(Wed) 16:07:32
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / kafka
納得しました。素晴らしいです。
No.64755 - 2020/04/29(Wed) 16:22:33
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / kafka
ちなみに（１）は高校数学の?Uのレベルですよね？
No.64756 - 2020/04/29(Wed) 16:26:43
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / X
今の高校数学の過程は分かりませんが、
数学IIまでに空間図形の項目があれば
その通りです。
No.64757 - 2020/04/29(Wed) 18:10:03
☆ Re: 大学初年度レベルの問題です。 / 関数電卓
図です。右端は平面と xy 平面の交線方向から見たもの。
No.64762 - 2020/04/29(Wed) 19:02:29