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記事No.64764に関するスレッドです
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絶対値の証明
/ へいけ
引用
画像ような絶対値の式が1より小さい証明方法を教えてください
No.64764 - 2020/04/29(Wed) 20:49:50
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Re: 絶対値の証明
/ IT
引用
ｔ＝２x[1]x[2] とおくと 簡単になりますね
x[1]、x[2]が実数ならOKですね。もちろん分母≠0ですね
No.64767 - 2020/04/29(Wed) 21:20:59
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Re: 絶対値の証明
/ IT
引用
t=2x[1]x[2]（≠0） とおく。（表記を簡単にするためです、そのままでも良いです）
分子を有理化して整理すると
与式＝|t|/(√(1+t^2)+1)＝1/(√(1+1/t^2)+1/|t|)
不等式を証明するだけなら、こっちが簡単かも
与式＝(√(1+t^2)-1)/|t|＜(√(1+|t|)^2-1)/|t|=1
No.64772 - 2020/04/29(Wed) 22:14:10
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Re: 絶対値の証明
/ らすかる
引用
絶対値の中身は、f(t)=(x1x2)t^2+t-(x1x2) (x1x2≠0)として
f(t)=0の原点に近い方の解ですが、
f(1)=1, f(-1)=-1からf(t)=0は-1＜t＜1の範囲に解をもちますので、
原点に近い方の解の絶対値は1より小さくなります。
No.64773 - 2020/04/29(Wed) 23:00:57
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Re: 絶対値の証明
/ IT
引用
らすかるさんの証明がきれいですね。
（特に(x1x2)t^2+t-(x1x2)＝0の方程式の解から出てきた 不等式なら 解を解の公式で求める必要もないですね ）
No.64774 - 2020/04/29(Wed) 23:21:53
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Re: 絶対値の証明
/ へいけ
引用
ありがとうございました
No.64826 - 2020/05/01(Fri) 15:27:09
