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記事No.64785に関するスレッドです
★ 大学2年、広義積分について / ウシ
画像の（2）がどうしても分かりません。
どうか教えて頂きたいです。
No.64785 - 2020/04/30(Thu) 11:30:19
☆ Re: 大学2年、広義積分について / X
問題の広義重積分をIとします。

今
J[R]=∫[r:0→R]∫[θ:0→2π]rdrdθ/{{r^(2α)}(1+r^2)^β} (A)
と置き、R→∞のときJ[R]が収束するとすると
I=lim[R→∞]J[R]
(証明は省略します。)

さて
(A)より
J[R]=2π∫[r:0→R]rdr/{{r^(2α)}(1+r^2)^β}
条件より0＜Rとしてもよいことに注意すると
J[R]はRに関して単調増加 (B)
であり、また
J[R]＜2π∫[r:0→R]rdr/{{r^(2α)}{r^(2β)}}
右辺においてr^2=uと置くことにより
J[R]＜π∫[u:0→R^2]du/{u^(α+β)} (C)
∴R→∞のとき(C)の右辺が収束⇒J[R]は上に有界
なので
1＜α+β⇒Iは収束

一方、α+β≦1のとき
β≦1-α
∴J[R]≧(2π)∫[r:0→R]rdr/{{r^(2α)}(1+r^2)^(1-α)}
=(2π)∫[r:0→R]{r(1+1/r^2)^α}dr/(1+r^2)
＞(2π)∫[r:0→R]{r/(1+r^2)}dr
=πlog(1+R^2)→∞(R→∞)
となりIは収束しないので背理法により
Iは収束⇒1＜α+β

以上から求める必要十分条件は
1＜α+β
No.64802 - 2020/04/30(Thu) 20:53:49
☆ Re: 大学2年、広義積分について / 関数電卓
被積分関数の中に 1/r があるので，r→0 のときの振る舞いは考えなくて良いのですか？
No.64812 - 2020/04/30(Thu) 23:14:17
☆ Re: 大学2年、広義積分について / X
>>関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ウシさんへ
ごめんなさい。関数電卓さんの仰る通りです。
No.64802の内容は無視して下さい。
No.64831 - 2020/05/01(Fri) 17:27:43
☆ Re: 大学2年、広義積分について / 関数電卓
r→0 で発散しないために α＝0 が必要。r→∞ 場合と併せて，α＝0, β＞1 だと思いますが，きちんと示すにはどうするのでしょう？
No.64836 - 2020/05/01(Fri) 19:02:29