(1)と(2)をお願いします。
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No.64791 - 2020/04/30(Thu) 16:40:24
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | 複素数 Z の共役複素数を cZ で表すことにします。
(1)
複素平面上で z, z' が表す点を P, P' とします。
αの偏角をθとし，P, P' を 0 の周りに−θ回転させた点を P1, P2, それらを表す複素数を z1, z2 すると，
z1＝z/(α/|α|)＝|α|z/α，z2＝|α|z'/α
このとき P1 と P2 は実軸について対称で，z1 と z2 は共役複素数となるから，
cz1＝|α|cz/cα＝z2＝|α|z'/α
∴ cαz'＝αcz [証了]
(2)
複素平面上の点を A(α), 直線 OA と直交する直線 l 上の点を P(z) とします。
(1)同様，P と l を 0 の周りに −arg(z) 回転させた点･直線を P1(z1), l' とすると z1＝|α|z/α。
P1 は実軸に垂直な直線 l' 上にあるから，
z1＋cz1＝|α| ∴ |α|z/α＋|α|cz/cα＝|α|
∴ cαz＋αcz＝αcα＝|α|2
αは l に垂直ならば任意だから |α|＝1 としてよく，
∴ cαz＋αcz＝1 [証了]
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(1)が(2)の布石となっていることが分かりますね？
尚，(2)の結果に z＝x＋yi, α＝a＋bi, cz＝x−yi, cα＝a−bi を代入して整理すると ax＋by＝1/2 となり，a, b は任意なので，これは平面上の直線を表しています。
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No.64794 - 2020/04/30(Thu) 19:04:58 |
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