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記事No.65048に関するスレッドです
★ (No Subject) / あい
この問題の答えを教えてください。
No.65047 - 2020/05/08(Fri) 12:29:45
☆ Re: / あい
これです
No.65048 - 2020/05/08(Fri) 12:30:18
☆ Re: / X
(1)
Cの方程式から
y'=3x^2+a (A)
∴C上の点(t,t^3+at)における接線の方程式は
y=(3t^2+a)(x-t)+t^3+at
∴これが点Pを通るとすると
-3p=(3t^2+a)(p-t)+t^3+at
整理して
2t^3-3pt^2-(a+3)p=0 (B)
よって題意を満たすためには
任意のp＞0に対し、tの3次方程式(B)が
実数解を二つのみ持てばよい
ことが分かります。
ここで
f(t)=2t^3-3pt^2-(a+3)p
と置くと
f'(t)=6t^2-6pt
=6t(t-p)
∴f(t)は
t=0で極大、t=pで極小
となるので題意を満たすためには
f(0)=0又はf(p)=0
つまり
-(a+3)p=0 (C)
又は
2p^3-3p^3-(a+3)p=0 (D)
(C)のとき
a=-3
(D)のとき
p^3+(a+3)p=0
p(p^2+a+3)=0
∴題意を満たすaの値は存在しません。
以上から求めるaの値は
a=-3

(2)
(1)の結果から問題の二本の接線の
Cとの接点のx座標をtとすると
2t^3-3pt^2=0
∴t=0,3p/2
∴(A)より題意を満たすためには
-3{3(3p/2)^2-3}=-1
これより
(3p/2)^2-1=1/9
(3p/2)^2=10/9
∴p=(2/9)√10
No.65051 - 2020/05/08(Fri) 12:47:30
☆ Re: / あい
p^3+(a+3)p=0
p(p^2+a+3)=0
∴題意を満たすaの値は存在しません。

をみたすaはどうして存在しないのですか？
a=-p^2-3はダメなのでしょうか？
No.65055 - 2020/05/08(Fri) 14:28:12
☆ Re: / X
条件からaはpによらない値でなければいけません。
ですので
a=-p^2-3
は不適です。
No.65058 - 2020/05/08(Fri) 14:59:49
☆ Re: / あい
なるほど！ありがとうございました！
No.65061 - 2020/05/08(Fri) 16:55:26